Estoy buscando un ejemplo concreto de una completa (en el sentido de que todas las secuencias de Cauchy convergen) sino campo ordenado no arquimediano, para ver que estas dos propiedades son independientes (un ejemplo de Arquímedes no completar pedido campo es obviamente los racionales).
Gracias de antemano.
Considerar el anillo de formal de la serie de Laurent $R((x))$ con el pedido de donde $x$ es positivo infinitesimal.
Es decir, una función racional es positivo si y sólo si su Laurent serie tiene un positivo coeficiente inicial.
Lo ($\omega$-indexada) secuencias converge a cero?
Así, para algunos $n$, debemos tener $s_m < x^2$ todos los $m > n$. En particular, esto significa que el líder plazo puede ser de la forma$a x^j$$j < 2$, porque tal cosa sería mayor que x^2. Así que para todos los $m > n$, el coeficiente de $x_j$ es 0 para todos los $j < 0$.
Un argumento similar puede ser utilizado en cada grado; por tanto, tenemos una simple caracterización de secuencias que converge a cero: son las secuencias delimitadas en la izquierda para que la secuencia de coeficientes en cada una de las $x^i$ finalmente es siempre cero. (Tenga en cuenta que no es suficiente simplemente convergen a cero!!!)
El delimitada criterio de las reglas de cosas como la secuencia
$$ 1, x^{-1}, x^{-2}, x^{-3}, \cdots $$
que diverge a $+\infty$.
En consecuencia, no es una simple condición de Cauchy secuencias: son precisamente las secuencias que están delimitadas en la izquierda y para el cual la secuencia de coeficientes en cada una de las $x^i$ finalmente es constante.
Por lo tanto, $R((x))$ es de Cauchy completa (en el sentido de que cada secuencia de Cauchy converge), y que no es de Arquímedes porque ha positiva infinita de números, tales como $x^{-1}$.
El mejor ejemplo (de hecho, seguramente la respuesta más sencilla a tu pregunta) es el campo formal de la serie de Laurent de que Hurkyl mencionado. Pero, en realidad, se puede ver que, en este campo se completa mediante la búsqueda de una métrica que induce a la orden de la topología. (Es una sorpresa que esto es posible!)
Los elementos de este campo parecen a $\sum_{i=n}^{\infty} a_i x^i$. Vamos a escribir $\textrm{ord}(f)$ para el índice del primer término distinto de cero, o $\infty$ si todos los términos son cero. A continuación, el orden es dada por
$f = \sum_{i=n}^{\infty} a_i x^i \quad > \quad 0$
cuando
$a_{\textrm{ord}(f)} > 0$. (Observe que este induce un orden en todo el campo, donde $f > g$ fib $f - g > 0$.)
Ok, ahora vamos a darle a este bebé una métrica! Usted puede verificar por su propia cuenta que
$d(f, g) = 2^{-\textrm{ord}(f-g)}$
es una métrica, y que induce a la misma topología de la orden en el campo.
La última cosa a comprobar es que el espacio se completa con arreglo a la métrica determinada. Esto es fácil una vez que usted tiene el derecho a la intuición. Piensa en ello de esta manera: cada uno de los índice entero es uno de los escaparates de una máquina de ranura. Una secuencia de Cauchy permite que los valores en cada ventana a la vuelta, pero a medida que avanza más abajo en la secuencia, cada spinner (comenzando desde la izquierda), finalmente se detiene. Por lo tanto, el valor que dicha secuencia converge es simplemente el poder formal de la serie obtenida tomando el coeficiente de cada una de las ruedas después de que ya se detuvo.
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También tenga en cuenta que Harry Altman es derecho en general: "la mayoría de los" nonarchimedean campos no son de segunda contables, y de modo que las secuencias no basta para caracterizar su topología. En este caso necesitarías redes o los filtros en su lugar; afortunadamente el campo de arriba es en realidad metrizable, así que usted no tiene que preocuparse acerca de esto. (Hay una buena caracterización de la nonarchimedean campos que son metrizable, por cierto.)
Si usted está interesado en las diferentes nociones de integridad, usted encontrará varios (como Cantor integridad y esférica integridad), pero cuando se trata ordenó campos, el "derecho" es uno de Hilbert integridad.
En este contexto, completa significa "orden completa" en lugar de completar en el sentido de la métrica de los espacios. No archimedian ordenó campo necesariamente tienen infinitamente pequeños elementos, por lo que sospecho que si se intenta imponer una métrica obtendrás algo patológico, como el cierre de 0 que contiene todos los infinitamente pequeños elementos.
Usted puede construir un orden, un ejemplo completo en el que tomando el campo $\mathbb{R}(x)$ de funciones racionales sobre $\mathbb{R}$. El fin de que se $x$ es menos que cada número positivo pero mayor que 0, y tomar su orden de finalización.
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