Sobre la "familiaridad" (o ¿Cómo evitar "bajar a la madriguera de las matemáticas"?)

Question

Cualquiera que intente aprender matemáticas por su cuenta ha tenido la experiencia de "bajar a la madriguera de las matemáticas".

Por ejemplo, suponga que se encuentra con el novedoso término espacio vectorial y quiere saber más sobre ella. Buscas varias definiciones y todas se refieren a algo llamado campo . Así que ahora vas a aprender lo que es un campo es, pero es la misma historia de siempre: todas las definiciones que encuentras se refieren a algo llamado grupo . Para aprender sobre lo que es un grupo es. Ad infinitum. Eso es lo que yo llamo aquí "bajar el La madriguera de las matemáticas ."

Al encontrarse por primera vez con la situación descrita uno puede pensar: "bueno, si eso es lo que se necesita para aprender sobre espacios vectoriales, entonces tendré que endurecerme y hacerlo". Sin embargo, he escogido este ejemplo en particular porque estoy seguro de que el curso de acción que prevé no sólo es arduo: es, de hecho, totalmente erróneo.

Puedo decirlo con cierta seguridad, para este caso concreto, gracias a una experiencia personal fortuita. Resulta que, por suerte para mí, algún amable profesor de cálculo en la universidad me dio el consejo de hacer un curso de álgebra lineal (algo que nunca se me habría ocurrido por mi cuenta), y por tanto me di el lujo de aprender sobre espacios vectoriales sin tener que aventurarme en el temido MRH . Me fue bien en esta clase, y conseguí una buena comprensión intuitiva de los espacios vectoriales, pero incluso después de haber estudiado para mis exámenes finales (y mucho menos el primer día de clase), no podría haber dicho que un campo era. Por lo tanto, desde mi experiencia, y la de casi todos mis compañeros de esa clase, yo conozca que no es necesario saber mucho sobre campos para entender los espacios vectoriales. Todo lo que se necesita es un familiaridad con algunos campo (digamos $\mathbb{R}$ ).

Ahora bien, es difícil precisar lo que este familiaridad equivale a. Lo único que puedo decir al respecto es que es un estado intermedio, y muy distinto de, (a) el estado justo después de leer y comprender la definición de lo que sea que uno quiera aprender (digamos, "espacios vectoriales"), y (b) el estado justo después de aprobar un curso de matemáticas puras a nivel de posgrado sobre ese tema.

Aún más difícil que definir esto familiaridad viene con un eficiente manera de conseguirlo...

Me gustaría preguntar a todos los autodidactas de las matemáticas que están leyendo esto: ¿cómo se evita caer en el La madriguera de las matemáticas ? Y más concretamente, ¿cómo de manera eficiente lograr lo suficiente familiaridad con conceptos previos para pasar a los temas que quieres aprender?

P.D.: Se dice que John von Neumann dijo una vez "Joven, en matemáticas no entiendes las cosas. Sólo te acostumbras a ellas". Creo que este "acostumbrarse a las cosas" es mucho de lo que estoy llamando familiaridad arriba. El problema del aprendizaje de las matemáticas de manera eficiente entonces se convierte en el problema de "acostumbrarse a las cosas" rápidamente.

EDIT: Varias respuestas y comentarios han sugerido utilizar libros de texto en lugar de, por ejemplo, Wikipedia, para aprender matemáticas. Pero los libros de texto suelen tener el mismo problema. Hay excepciones, como los libros de Gilbert Strang, que por lo general evitan los tecnicismos y se centran en el panorama general. En efecto, son introducciones ideales a un tema, pero son muy raro. Por ejemplo, como ya mencioné en un comentario, he estado buscando un libro de introducción a la teoría de la homotopía que se centre en el panorama general, sin éxito; todos los libros que he encontrado están llenos de tecnicismos desde el principio: Hausdorff esto, localmente compacto aquello, yadda yadda...

Estoy seguro de que cuando un matemático pide a otro una introducción a alguna rama de las matemáticas, este último no empieza a soltar todos esos tecnicismos formales, sino que da una visión general, basada en ejemplos sencillos. Me gustaría que los autores de libros de matemáticas escribieran a veces libros con ese estilo informal. No me refiero a los libros escritos para los fóbicos de las matemáticas (de hecho, detesto cuando un libro de matemáticas adopta un tono condescendiente de "para tontos", "no friamos nuestros pequeños cerebros"). Informal no significa "tonto". Hay un gran vacío en la literatura matemática (al menos en inglés), y no puedo entender por qué.

(Por cierto, me alegro de que MJD haya sacado a relucir la Álgebra lineal porque es un ejemplo concreto que demuestra que no es imposible escribir un libro de texto de matemáticas con éxito que se mantenga en el panorama general y no se complique con los tecnicismos. Ni que decir tiene que no estoy defendiendo que todos los libros de matemáticas se escriban así. La atención a esos detalles técnicos, la precisión y el rigor son esenciales para hacer matemáticas, pero pueden abrumar fácilmente una exposición introductoria).

Answer 1

Su ejemplo me hace pensar en los gráficos.

Imagínate que un tipo amable y servicial llega y hace un gran gráfico de todos los conceptos matemáticos de la historia, en el que cada concepto es un nodo y los conceptos relacionados están conectados por aristas. Ahora puedes coger una copia de este gráfico y colorear cada nodo en verde según si "conoces" ese concepto (los desconocidos pueden ser grises).

¿Cómo definir "saber"? En este caso, cuando alguien menciona ese concepto al hablar de algo, ¿te sientes inmediatamente confundido y te entran ganas de buscar el concepto? Si la respuesta es no, entonces lo sabes (curiosamente, puedes engañarte a ti mismo pensando que sabes algo que no entiendes en absoluto, y se clasificaría como "saber" en base a esta regla - pero eso está bien y explicaré por qué en un momento). Para determinar si lo "sabes", trata de asumir que la cosa particular de la que la persona está hablando no es un argumento intrincado que gira en torno a detalles oscuros del concepto o interpretaciones extrañas - sólo se menciona de manera práctica, como una observación tangencial.

Cuando se estudia un tema, básicamente se escoge un nodo gris y se intenta colorearlo de verde. Pero puedes descubrir que para hacerlo, debes colorear primero algunos nodos grises adyacentes. Así que en el momento en que descubres un nodo que es un prerrequisito, vas a colorearlo de inmediato y dejas el tema original en suspenso. Pero este nodo también tiene prerrequisitos, así que pones it en espera, y... Lo que estás haciendo se conoce como una búsqueda en profundidad. Es natural que te sientas como en una madriguera de conejo: estás tratando de ir lo más profundo posible. La esperanza es que tarde o temprano te encuentres con un muro de verdes, que es cuando tu larga y ardua búsqueda habrá dado sus frutos, y podrás sentir ese subidón único de volver a subir a la pila con tu pequeña joya de recursión terminando el valor de retorno.

Luego vuelves a colorear tu nodo original y descubres el otro requisito previo, así que ahora puedes volver a hacerlo.

El DFS es adecuado para algunas aplicaciones, pero es malo para otras. Si su objetivo es colorear todo el gráfico (es decir, aprender todo de matemáticas), cualquier estrategia te hará visitar el mismo número de nodos, así que no importa tanto. Pero si no estás intentando seriamente aprender todo en este momento, DFS no es la mejor opción.

Así que la solución a tu problema es sencilla: ¡utiliza un algoritmo de búsqueda más adecuado!

Lo más obvio es la búsqueda de amplitud. Esto significa que, al leer un artículo (o una página, o un capítulo de un libro), no te apresures a buscar cada término nuevo en cuanto lo veas. Márcalo con un círculo o anótalo en un papel aparte, pero oblígate a terminar el texto aunque te resulte completamente incomprensible sin conocer el nuevo término. Ahora tendrás una lista de los nodos necesarios y podrás tratarlos de forma más organizada.

En comparación con su DFS, esto ya hace que sea mucho más fácil evitar alejarse demasiado de su área de interés original. También tiene otra ventaja que no es común en los problemas de gráficos reales: A menudo en matemáticas, y en general, la comprensión es cooperativa. Si tienes un concepto A que tiene como prerrequisitos los conceptos B y C, puedes encontrar que B es muy difícil de entender (te lleva a una profunda madriguera), pero sólo si aún no conoces el tema C, que es muy fácil, lo que hace que B sea muy fácil de "pillar" porque descubres rápidamente los puntos más destacados y relevantes (o puede resultar que saber o bien B o C es suficiente para aprender A). En este caso, ¡no querrás tener una estrategia de aprendizaje que no te asegure hacer C antes que B!

BFS no sólo te permite explotar las cooperatividades, sino que también te permite gestionar mejor tu tiempo. Después de tu primera pasada, digamos que has terminado con una lista de 30 temas que debes aprender primero. No todos serán igual de difíciles. Tal vez 10 te lleven 5 minutos de hojear la wikipedia para entenderlos. Quizá otros 10 sean tan sencillos que el primer diagrama de Google lo explique todo. Luego habrá 1 o 2 que te llevarán días o incluso meses de trabajo. No querrás tropezar con los grandes mientras tienes que ocuparte de los pequeños. Después de todo, puede resultar que el tema grande no sea esencial, pero el pequeño sí. En ese caso, te sentirías muy tonto si intentaras abordar primero el tema grande. Pero si el pequeño resulta inútil, en realidad no has perdido mucha energía ni tiempo.

Una vez que se hace BFS, también se pueden aprovechar los otros giros, muy agradables e inteligentes, como Dijkstra o A*. Cuando tengas la lista de temas, ¿puedes ordenarlos por lo prometedores que parecen? Lo más probable es que puedas, y lo más probable es que tu intuición sea correcta. Otra cosa que se puede hacer es que, dado que en última instancia, tu objetivo es enlazar con algunos nodos verdes, ¿por qué no intentas priorizar los temas que parecen acercarse a cosas que sí conoces? Lo bueno de A* es que estas heurísticas ni siquiera tienen que ser muy correctas: incluso las heurísticas "erróneas" o "poco realistas" pueden acabar haciendo que tu búsqueda sea más rápida.

Answer 2

Usted no aprender lo que es un espacio vectorial tragándose una definición que dice

Un espacio vectorial $\langle V, S\rangle$ es un conjunto $V$ y un campo $S$ que satisfacen los siguientes 8 axiomas:

O al menos yo no lo hago, y por lo que parece, a ti tampoco te funciona. Esa definición es para alguien que no sólo sabe lo que es un campo, sino que también sabe lo que es un espacio vectorial, y para quien el enunciado formal puede iluminar lo que ya sabe.

En cambio, si quieres aprender lo que es un espacio vectorial, coges un libro de texto elemental de álgebra lineal y empiezas a leerlo. Yo cogí Álgebra lineal y sus aplicaciones (G. Strang, 1988) junto a la cama, y descubro que el "espacio vectorial" ni siquiera está definido. La primera página del capítulo 2 ("Espacios vectoriales y ecuaciones lineales") introduce la idea de manera informal, apoyándose mucho en el ejemplo de $\Bbb R^n$ , que ya se introdujo en el capítulo 1, y luego hace hincapié en la propiedad crucial "Podemos sumar dos vectores cualesquiera, y podemos multiplicar vectores por escalares". En la página siguiente se reitera esta idea: "un espacio vectorial real es un conjunto de "vectores" junto con las reglas para la adición y multiplicación de vectores por números reales". Luego siguen tres ejemplos que son diferentes de los $\Bbb R^n$ ejemplos.

Un buen libro de texto lo hará: reducirá esos 8 axiomas a un breve enunciado de lo que realmente son los axiomas, y proporcionará un conjunto de ejemplos esclarecedores. En el caso del espacio vectorial, el breve enunciado que he citado, en negrita en el original, era éste: podemos sumar dos vectores cualesquiera y podemos multiplicar vectores por escalares.

No es necesario saber qué es un campo para entender nada de esto, porque se limita a real espacios vectoriales, en lugar de a espacios vectoriales sobre campos arbitrarios. Pero te prepara para entender la idea en toda su generalidad una vez que sepas qué es un campo: "Igual que los espacios vectoriales a los que estás acostumbrado, excepto que en lugar de que los escalares sean números reales, pueden ser elementos de cualquier campo".

Si te encuentras persiguiendo una serie interminable de definiciones, es porque estás intentando aprender matemáticas con una enciclopedia matemática. Vale la pena intentarlo; a Ramanujan le funcionó. Pero si te das cuenta de que no eres Ramanujan, puedes intentar lo que hacemos el resto de los que no somos Ramanujan, e intentar leer un libro de texto en su lugar. Y si el libro de texto empieza diciendo algo como

Un espacio vectorial $\langle V, S\rangle$ es un conjunto $V$ y un campo $S$ que satisfagan los siguientes 8 axiomas:

entonces significa que te has hecho con un libro de texto que fue escrito para personas que ya saben lo que es un espacio vectorial y tienes que dejarlo a un lado y conseguir otro. (Esto no es una broma; hay muchos libros así).

El libro de Strang es muy bueno, por cierto. Lo recomiendo.

Una última nota: por lo general, no basta con leer el libro; también hay que hacer un montón de ejercicios.

Answer 3

Un matemático muy conocido me mostró cómo evita la madriguera del conejo. Copié su método y ahora puedo mantenerme al margen la mayor parte del tiempo.

Tenía seminarios privados semanales con él. Cada semana, él investigaba un tema del que no sabía nada (ese era nuestro trato y eso era lo que había para él). Yo nombraba el tema (ejemplos: Filtros de Bloom, Teorema de Knuth-Bendix, Lógica Lineal), y a la semana siguiente él hacía una presentación Power-Point sin florituras de lo que había descubierto. Las presentaciones tenían un patrón uniforme:

Motivating Example
Definitions
Lemmas and Theorems
Applications

Al comenzar con el ejemplo motivador, nunca nos perdimos en la espesura de los tecnicismos, y la sección de Aplicaciones volvería a explicar el Ejemplo Motivador (y tal vez algunos otros si el tiempo lo permite) en términos de los tecnicismos.

Así es como se enseñó un tema sin bajar al MRH.

Limit your rabbit-hole time (one week)
your presentation must be one hour long
Focus on a Motivating Example
do just enough technicalities to explain the example and optional variations

Desde entonces he copiado este estilo. Cuando me enseño un tema nuevo, hago una presentación de diapositivas como esa, y luego la presento a los demás en un grupo de lectura semanal.

Answer 4

Creo que a veces, no realmente necesita saber exactamente lo que significa cada término utilizado, al menos no de inmediato. La mayoría de las veces, una vaga idea es suficiente para empezar.

Consulta la definición (sin entenderla necesariamente en un primer momento -explorar un enorme lío de una definición formal no siempre es útil en este momento, pero ayuda a ver su estructura general), luego ve algunos ejemplos, juega un poco, ve cómo funciona. Si te contara todo sobre la equitación durante un mes, probablemente no serías tan bueno en la equitación como lo serías si, en cambio, hubieras intentado practicar la equitación durante una semana (y no sólo porque yo no sepa nada de equitación ;) ).

A medida que se profundiza en el tema, puede ayudar a entender los detalles de las definiciones, así como los objetos auxiliares. ¿Para qué sirven? ¿Qué significan realmente? Pero al principio, no debe esperar entender todo especialmente cuando se estudian cosas más profundas que (a diferencia de los espacios vectoriales) pueden realmente en lo más profundo de... la madriguera del conejo.

La familiaridad viene con la experiencia. No hay otra manera.

Como comentario adicional sobre tu ejemplo de los espacios vectoriales: No creo que puedas entender realmente el álgebra lineal si te limitas a los reales. Tienen característica cero, no son algebraicamente cerrados, están naturalmente ordenados... esto puede ser muy engañoso. Está bien para empezar, pero yo no diría que entiendes los espacios vectoriales si sólo entiendes los espacios vectoriales reales.

Answer 5

Es una buena idea aprender sobre los espacios vectoriales primero en el contexto de escalares reales en lugar de campos generales. Pero después, vale la pena observar que, en la mayor parte de lo que aprendiste (todo menos los espacios de producto interno, en las presentaciones habituales del tema), nunca usaste el hecho de que los números reales vienen con un ordenamiento; nunca necesitaste considerar si los números eran positivos o negativos. Y para algunos propósitos, como los valores propios y los vectores propios, es realmente útil incluir los números complejos en el cuadro. De hecho, todo lo que necesitábamos sobre los números reales era que podíamos sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos (excepto, por supuesto, que no podemos dividirlos por $0$ ) y puedes manipular las ecuaciones como aprendiste en álgebra elemental. Por eso es seguro permitir que los números complejos entren en escena, ya que comparten todas las propiedades esenciales (para el álgebra lineal) de los números reales. Y a estas alturas, ya sabes lo que es un campo, incluso si nunca has visto la definición o incluso la palabra, porque un campo es sólo una colección de cosas que se parecen a los números en la medida en que se puede sumar, restar, multiplicar y dividir (excepto, por supuesto, que no se puede dividir por $0$ ) y puedes manipular las ecuaciones como aprendiste en álgebra elemental. Los axiomas formales que definen el "campo" son sólo el resultado de la observación de que todas esas reglas algebraicas que aprendiste son consecuencias de sólo unas pocas reglas; es decir, la mayoría de ellas son redundantes. Así que el "campo" puede definirse dando sólo las reglas necesarias, no todas las redundantes. Por supuesto, esto facilita la comprobación de que algo es un campo, porque hay muchas menos reglas que verificar, y también facilita la redacción de la definición de "campo" en un libro, porque es más breve de lo que sería de otro modo. Pero la verdadera idea de "campo" sigue siendo que todo las manipulaciones habituales de las ecuaciones son válidas.