Encontrar todos los números enteros $a,b,c$ tal que $\frac {abc}{a+b+c}$ es un entero.

Question

Encontrar todos los números enteros $ (a,b,c) $ tal que $ \frac{abc}{a+b+c} $ es un entero.

¿Alguien podría ayudarme con este problema de teoría de números?

Answer 1

Nota: que $$\frac{abt}{a+b+t}=ab-\frac{ab(a+b)}{a+b+t}.$ $ así que escoger cualquier $a,b$ lista de los divisores (positivo y negativo} $ab(a+b)$ y luego resolver $a+b+t=d$ para cada divisor $d.$

Answer 2

Elegir $a$ y $b$ al azar y denotan $ab=x$ y $a+b=y$. Quieres que: $$c+y \mid cx$$ or equivalently $$c+y \mid xy$$ so just choose some random divisor $d $ of $ xy $ and choose $c = y d$. Por lo que todas las soluciones son los tríos:

$$(a,b,d-a-b)$$ where $d$ is a divisor of $$ab(a+b)$$