He aquí una respuesta para una leve generalización del caso especial que dio:
[T1] Deje $S$ ser un conjunto finito de no degenerada discontinuo alineado al eje cuboides en $\mathbb{R}^3$. Deje $H > h > 0$ son tales que no cuboide es más alto que los $H$ unidades o menor que $h$ unidades de altura (la $z$-eje). Entonces es posible que el color del cuboides en $S$ utilizando en la mayoría de las $4(\lceil H/h \rceil+2)$ colores tales que cualquiera de los dos aspectos de tocar por las caras de diferentes colores.
Prueba: Supongamos que wlog. que $h = 1$ y $H$ es un número entero (por no entera $H$ reemplace$H$$\lceil H \rceil$). En este caso, $4(\lceil H/h \rceil+2)$ simplifica a $4(H+2)$.
Para cada cuboide $C \in S$ considera que el más pequeño alineado al eje cuboide $C'$ contiene $C$ cuyas caras superior e inferior y han entero $z$-coordenadas, vamos a $S'$ ser el conjunto de todos estos aspectos. Observar que si cualquiera de las dos cuboides $C, D \in S$ touch por las caras, a continuación, $C'$ $D'$ touch o intersect (1). Observe también que no se cruzan dos cuboides $C', D' \in S'$ han coplanares superior o inferior de la cara (2).
Vamos a la elevación $e(C)$ de cualquier prisma indicar el mínimo de $z$-coordinar. Por construcción, todas las $C' \in S'$ han entero elevaciones, y entero alturas no mayores de $H+1$. Ahora la idea es agrupar el conjunto de aspectos en $H+2$ cuatro engañosa subconjuntos mediante la elevación.
Definir $S'_i := \{C' \in S'\mid e(C') = i \}$ todos los $i \in \mathbb{Z}$. Por (2), no hay dos aspectos en $S'_i$ se cruzan o están situadas unas encima de otras. Colorear el cuboides en $S'_i$ por lo tanto se reduce a colorear sus caras inferiores, que requiere de cuatro colores como por la cuatro-color teorema como estas inferior caras coplanares.
Ahora observar que si tenemos $|i-j| > H+1$ cualquier $C' \in S'_i, D' \in S'_j$ no se toque ni se cruzan entre sí. Por lo tanto podemos usar cuatro colores para colorear el conjunto de $$T'_i := \bigcup_{k \in \mathbb{Z}}S'_{(H+2)k+i}$$
y desde $S' = T'_0 \cup \ldots \cup T'_{H+1}$, podemos usar $4(H+2)$ colores para colorear el conjunto de $S'$, de modo que cualquiera de los dos aspectos de tocar o de intersección tienen colores distintos.
Por (1), este colorante induce un válido para colorear de $S$. $~~~~\square$
EDITAR:
Hay mucho, mucho mejor aproximación que se sigue de esto.
[T2] Deje $S$ ser un conjunto finito de $n>0$ degenerada de distintos alineado al eje cuboides en $\mathbb{R}^3$. Entonces es posible que el color del cuboides en $S$ utilizando en la mayoría de las $16(1+\lfloor\log_2(n)\rfloor)$ colores tales que cualquiera de los dos aspectos de tocar por las caras de diferentes colores.
Prueba: Supongamos $a_0 < \ldots < a_k$ ser todo lo posible altitudes de todas las caras superior e inferior y de la cuboides en $S$ donde $1 < k < 2n$ ya que sólo tenemos $2n$ disponible caras superior e inferior y. Elija una estrictamente creciente continua surjective mapa de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que se asigna a $a_i$ $i$todos los $i = 0, \ldots, k$. Construir la homeomorphism $F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, (x, y, z) \mapsto (x, y, f(z))$. Este mapa mapas cuboides a cuboides, y dos cuboides $C, D$ contacto si y sólo si $F(C), F(D)$ touch.
Ahora nos vamos a $S' := F(S)$. Ahora $S'$ es un conjunto de aspectos cuya parte superior e inferior de las caras entero altitudes entre los $0$$2n-1$, por lo que cada cubo tiene un número entero de altura entre el$1$$2n-1$.
Dividimos el conjunto de $\{1, \ldots, 2n-1\}$ a $p := 1+\lfloor\log_2(n)\rfloor$ subconjuntos $A_1, \ldots, A_p$ tal que $\max(A_i)/ \min(A_i) \leq 2$ todos los $i = 1, \ldots, p$. Deje $S'_i := \{C' \in S' \mid h(C') \in A_i\}$. Por [T1], se puede colorear cada uno de estos $S'_i$ utilizando en la mayoría de las $16$ colores cada uno. Desde $S' = S'_1 \cup \ldots \cup S'_p$, existe un colorante de $S'$ (por lo tanto también de $S$), utilizando en la mayoría de las $16p$ colores.
Nota: se puede fácilmente mejorar esta obligado a $12p$ si modificamos [T1] un poco.
PS: me han sacado otro límite superior para la cantidad de colores necesarios, que sólo depende de la máxima proporción de aspecto de los rostros de todos los aspectos. Para una máxima relación de aspecto de $p$, lo que uno necesita en la mayoría de las $\lfloor2p^2+12p+13\rfloor$ colores.
