¿Por qué no podemos ordenar los números complejos?

Question

Sé que esto puede ser una pregunta tonta. Siempre oigo que los números complejos no se pueden ordenar. Pero hay algo que se me escapa... ¿Por qué no podemos simplemente comparar dos números complejos $z_1,z_2$ de la siguiente manera:

Un número es menor que el otro si el módulo es menor o igual pero el ángulo es menor desde el eje x, es decir $z_1$ < $z_2$ si $\rho_1<\rho_2$ o $\rho_1=\rho_2$ y $\theta_1<\theta_2$ donde obviamente $$z_1=\rho_1 e^{i\theta_1}, z_2=\rho_2 e^{i\theta_2}, \mathrm{with\ }\theta_1,\theta_2 \in [0,2\pi)$$

¿Por qué no lo hacemos? Y si lo hacemos, ¿por qué todo el mundo dice siempre que los números Complejos no se pueden ordenar?

Answer 1

Tiene razón. Su orden funcionará perfectamente, junto con otras infinitas. El problema es que este orden, y cualquier otro que pueda definirse, no es matemáticamente interesante; es decir, tales órdenes no interactúan con las estructuras algebraicas, geométricas o analíticas de los números complejos de ninguna manera que tenga una descripción razonablemente simple o satisfactoria. Son simplemente arbitrarios. Podría ser más preciso decir que no hay canónico ordenación de $\Bbb C$ .