Reclamo: Un $f: \mathbb{X} \to \mathbb{Y}$ de la función es continuo si dado cualquier conjunto abierto $\mathbb{U} \subseteq \mathbb{Y}$ la imagen inversa $f^{-1} (\mathbb{U}) \subseteq \mathbb{X}$ está abierto.
¿Cómo es esta definición intuitiva compatible con la definición de $\epsilon-\delta$ de continuidad?
Además, a nivel aplicación, ¿cómo es la anterior afirmación corresponde probar la continuidad de una función? ¿es decir, es útil para decir demostrando que $f(x) = e^x$ continuo?
Intuitivamente, si $U$ es abierto, pero $f^{-1}(U)$ es, $f^{-1}(U)$ contiene un punto de $x_0$ tal que para cualquier barrio de $x_0$, por pequeña que sea, contiene puntos fuera de $f^{-1}(U)$. En otras palabras, uno puede elegir un punto de $x$ arbitrariamente cerca de $x_0$ tal que $f(x)\notin U$, aunque $f(x_0)\in U$. Para un punto de $x$ muy, muy cerca de la $x_0$, el valor de $f(x)$ abruptamente "saltos" fuera del conjunto abierto $U$, lo cual es una violación de nuestra intuitiva del concepto de continuidad: Si $f$ fueron continuas, entonces sería de esperar que para un punto de $x$ muy cerca de $x_0$, $f(x)$ debe estar muy cerca de $f(x_0)$.
Formalmente, supongo que trabajamos en espacios métricos $(\mathbb X, d_{\mathbb X})$$(\mathbb Y,d_{\mathbb Y})$.
A la inversa-definición de la imagen implica la $\varepsilon$-$\delta$ definición.
Supongamos que la inversa de la imagen criterio se satisface. Deje $x_0\in\mathbb X$$\varepsilon>0$. Entonces, la pelota $$B_{\mathbb Y}(\varepsilon, f(x_0))\equiv\{y\in\mathbb Y\,|\,d_{\mathbb Y}(y,f(x_0))<\varepsilon\}$$ of radius $\varepsilon$ about $f(x_0)$ is open in $\mathbb S$, hence $f^{-1}(B_{\mathbb S}(\varepsilon,f(x_0)))$ is open in $\mathbb X$. Since $x_0\f^{-1}(B_{\mathbb S}(\varepsilon,f(x_0)))$, there exists some ball of radius $\delta>0$ about $x_0$ such that $$B_{\mathbb X}(\delta,x_0)\subseteq f^{-1}(B_{\mathbb Y}(\varepsilon,f(x_0)))$$ This is exactly the $\varepsilon$-$\delta$ criterion: if $x\in \mathbb X$ is such that $d_{\mathbb X}(x,x_0)<\delta$, then $d_{\mathbb S}(f(x),f(x_0))<\varepsilon$.
El $\varepsilon$-$\delta$ definición implica la inversa-definición de la imagen.
Supongamos que el $\varepsilon$-$\delta$ criterio tiene y deje $U\subseteq\mathbb Y$ ser abierto. Por la definición de la apertura en los espacios métricos, existe para cada una de las $y\in U$ $\varepsilon_y>0$ tal que $$B_{\mathbb Y}(\varepsilon_y,y)\subseteq U.$$ In fact, it is not difficult to check that $$U=\bigcup_{y\in U}B_{\mathbb Y}(\varepsilon_y,y).\tag{$\clubsuit$}$$ I now claim that $f^{-1}(U)$ is open in $\mathbb X$. Suppose that $x_0\f^{-1}(U)$. Then $f(x_0)\en U$, so $f(x_0)\en B_{\mathbb S}(\varepsilon_{y_0},y_0)$ for some $y_0\U$ by ($\clubsuit$). That is $d_{\mathbb Y}(f(x_0),y_0)<\varepsilon_{y_0}$. Define $$\xi\equiv\varepsilon_{y_0}-d_{\mathbb Y}(f(x_0),y_0)>0.\tag{$\star$}$$ By the $\varepsilon$-$\delta$ definition of continuity, there exists some $\delta>0$ such that $$\text{if }x\in\mathbb X\text{ and }d_{\mathbb X}(x,x_0)<\delta\text{, then }d_{\mathbb Y}(f(x),f(x_0))<\xi.\tag{$\diamondsuit$}$$ I now claim that $$B_{\mathbb X}(\delta,x_0)\subseteq f^{-1}(U),\tag{$\spadesuit$}$$ which will show that $f^{-1}(U)$ is open (since its generic element $x_0$ has a ball around it still in $f^{-1}(U)$), as desired. To this end, let $x\en B_{\mathbb X}(\delta,x_0).$ That is, $d_{\mathbb X}(x,x_0)<\delta$. Then, by ($\diamondsuit$), one has that $$d_{\mathbb Y}(f(x),f(x_0))<\xi.$$ In turn, the triangle inequality and ($\estrella$) imply that $$d_{\mathbb Y}(f(x),y_0)\leq d_{\mathbb Y}(f(x),f(x_0))+d_{\mathbb Y}(f(x_0),y_0)<\xi+d_{\mathbb Y}(f(x_0),y_0)=\varepsilon_{y_0}.$$ This means that $f(x)\en B_{\mathbb S}(\varepsilon_{y_0},y_0)\subseteq U$, so that $x\in f^{-1}(U)$. Therefore, ($\spadesuit$) sostiene, como se ha dicho.
triple_sec ya ha escrito una explicación detallada de por qué ambas definiciones son equivalentes, así que voy a intentar dar razones de por qué la otra definición es útil.
La definición con el abierto de conjuntos no necesita ningún concepto de distancia, sólo un concepto de lo que es un conjunto abierto en cada espacio. Esto puede ser usado para generalizar la definición de funciones continuas a general de espacios topológicos.
Más específicamente, para un conjunto $X$ llamamos una colección de subconjuntos de a $\tau \subset \mathcal{P}(X)$ una topología si las siguientes tres condiciones:
El par $(X, \tau)$ es llamado un espacio topológico y los conjuntos de $A \in \tau$ son llamados bloques abiertos.
Podemos llamar a un conjunto de $A$ en un espacio métrico $\epsilon$ -*, si para cada punto de $x_0 \in A$ no es un porcentaje ($\epsilon > 0$que $B_X(\epsilon, x_0) \subset A$. Esta es, probablemente, la definición de un conjunto abierto que he visto hasta ahora. Es fácil comprobar que $\{A \subset X \;|\; A \text{ is $\epsilon$-open}\}$ es una topología en $X$. De esta manera, todas las métricas en un espacio de $X$ induce una topología en $X$.
Ahora, utilizando la definición de continuidad que sólo necesita un concepto de bloques abiertos, podemos generalizar la noción de una función continua entre dos espacios métricos para una función continua entre dos espacios topológicos. Esta es una gran generalización, ya que no todos los topología de un espacio topológico es inducida por una métrica [por ejemplo, no seaespacio de Hausdorff].
La definición a través de bloques abiertos en algunos casos, puede ser aplicado también a mostrar ciertas propiedades de un conjunto. En un espacio topológico $(X, \tau)$ llamamos conjunto cerrado si su complemento $A^c$ es un conjunto abierto. Ahora es de nuevo fácil ver que la noción de un conjunto cerrado en el valor de medida es la misma que la noción de un conjunto cerrado en la correspondiente configuración topológica. Ahora considere la función $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $x \mapsto ||x||_2$. Es fácil ver que esta función es continua si queremos dotar a $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}$ con su nivel de topología [es decir, la topología inducida por la distancia euclidiana]. Ahora la definición de continuidad que utiliza abierto conjuntos de muestra de inmediato que $\mathbb{S}^{n - 1} = f^{-1}(\{1\}) = (f^{-1}(\{1\}^c))^c$ es un conjunto cerrado.
Otra observación importante es que los dos diferentes métricas pueden inducir la misma topología. Por ejemplo, el $p$-normas en $\mathbb{R}^n$ $0 < p \le \infty$ todos inducir la misma topología. Ahora bien, si hemos de dotar a $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^m$ arbitrarias $p$-normas, podemos ver que la continuidad de una función $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ no depende de que $p$ elige en cada espacio correspondiente.
A menudo se utiliza resultado en este contexto es que, en un número finito de dimensiones reales espacio vectorial de todas las normas son equivalentes. Esto implica que si queremos dotar a dos finito-dimensional de la normativa de espacios de $V, W$ con topologías que son inducidas por las normas, la continuidad de una función no depende en absoluto de la elección concreta de nuestras normas.
*Por favor tenga en cuenta que el término "$\epsilon$-abierto" no es utilizado generalmente término matemático. Yo sólo se utiliza aquí para diferenciar entre las dos nociones de abrir establece que he usado en este post.
Examinemos el caso más simple.
Que $I \subset \mathbb{R}$ estar abierto y que $f: I \to \mathbb{R}$ ser continuo en $I$. Entonces cada $\varepsilon > 0$ y cada $c \in I$ allí es algunos $\delta > 0$ tal que $f(c) - \varepsilon < f(x) < f(c) + \varepsilon$ % todos $c - \delta < x < c+\delta$. Que $c \in I$. Lo anterior significa que para cada % de barrio $N(f(c))$allí es algunos % de barrio $N(c)$tal que $f(x) \in N(f(c))$ $N(c)$. Pero esto dice exactamente que $f^{(-1)}(N(f(c)) = N(c)$, es decir, la preimagen de $N(f(c))$ en $f$ $N(c)$. Ahora se puede ver la razón que después.
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