Espacio topológico M con partición de la unidad---> M paracompacto. Problemas de John Lee

Question

Supongamos que $M$ es un espacio topológico con la propiedad que cada cubierta abierta $X$ $M$, existe una partición de la unidad subordinada a $X$. Muestran que $M$ es paracompacto.

Answer 1

$X=\lbrace X_a \rbrace$ y % que $\lbrace P_a\rbrace$la partición asociada de la unidad, el índice de ambos es $A$. Definir $A'=\lbrace a|a\in A,P_a\neq 0\rbrace$ y finalmente definir $V_a=P_a^{-1}(0,1]$ $a\in A'$, abierta en $M$. Es fácil ver que $\lbrace V_a|a\in A'\rbrace$ es un refinamiento localmente finito.

Answer 2

Dado cualquier % de cubierta $ \{U_\alpha \} $tienes la partición de la unidad $ \phi_\alpha $ tal que $ V_\alpha = supp(\phi_\alpha ) \subset U_\alpha $ es una cubierta localmente finita de $M$ (que es por eso que tenemos la suma de $\phi_\alpha $ como una suma finita). Claramente $ \{V_\alpha \} $ es un refinamiento de $\{U_\alpha \}$. Así cualquier cubierta abierta tiene un refinamiento finito localmente que cubre el $M$, por lo tanto $M$ es paracompacto.