Evaluar

Question

Evaluar la integral $$\int_0^\infty \frac{\arctan(3x) - \arctan(9x)}{x} {dx}.$ $

He intentado dividir esto en 2 integrales y luego usar la sustitución $t = \arctan(3x)$ pero he conseguido en ninguna parte.

Answer 1

Una forma sencilla de evaluar la integral utiliza Teorema de Frullani $$\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx=\bigg[f(0)-f(\infty)\bigg]\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ tomar $f(x)=\arctan(x)$ entonces la integral se evalúa simplemente a $$-\frac{\pi}{2}\ln3$ $

Answer 2

Método 1 , con Una diferencia de arctangents es exactamente el tipo de cantidad producida cuando se calcula la integral definida de la conocida integrando $\frac{1}{1 + y^2}$, lo que sugiere que reescribir la integral (en sustitución de las constantes numéricas con el general constantes $a, b > 0$) como una integral doble: $$\int_0^{\infty} \int_{ax}^{bx} \frac{1}{x(1 + y^2)} dy \,dx.$$ Invirtiendo el orden de integración (que requiere algún tipo de justificación, que a menudo es suprimida cuando el aprendizaje de múltiples integración) da $$\int_0^{\infty} \int_{y/b}^{y/a} \frac{1}{x(1 + y^2)} dx \,dy.$$

Ahora, integrando el interior de la integral y, a continuación, el exterior es sencillo; el resultado debe ser $$\frac{\pi}{2} \log \frac{b}{a},$$ which in your case is $$-\frac{\pi}{2}\log 3.$$

Método 2 Por la petición, he aquí una solución alternativa que utiliza el (tal vez undertaught) método de diferenciación en virtud de la integral:

Respecto de la integral $$\int_0^{\infty} \frac{\arctan bx - \arctan ax}{x} \,dx$$ as a function $I(b)$ of $b$. Then, one can justify that when computing the derivative $I " (b)$ podemos diferenciar bajo el signo integral: \begin{align} I'(b) &= \frac{d}{db} \int_0^{\infty} \frac{\arctan bx - \arctan ax}{x} \,dx \\ &= \int_0^{\infty} \frac{d}{db}\left(\frac{\arctan bx - \arctan ax}{x}\right) \,dx \\ &= \int_0^{\infty} \frac{dx}{1 + (bx)^2} \\ &= \left.\frac{1}{b} \arctan bx \,\right\vert_0^{\infty} \\ &= \frac{\pi}{2b} \textrm{.} \end{align} La integración da que $$I(b) = \frac{\pi}{2} \log b + I_0$$ para algunas constantes $I_0$. Por un lado, $I(a) = \frac{\pi}{2} \log a + I_0$, y en el otro, $$I(a) = \int_0^{\infty} \frac{\arctan ax - \arctan ax}{x} \,dx = 0,$$ por lo $I_0 = -\frac{\pi}{2} \log a$, y por lo tanto la integral es original $$\int_0^{\infty} \frac{\arctan bx - \arctan ax}{x} \,dx = I(b) = \frac{\pi}{2} \log b - \frac{\pi}{2} \log a = \frac{\pi}{2} \log \frac{b}{a},$$ lo cual está de acuerdo con la solución que desde el primer método.