¿Cuál de $\log{\sqrt{n\log{n}}}$ y $\sqrt{\log{n}}$ crece más rápido?

Question

Cuál de las siguientes funciones crece más rápido:

$\log{\sqrt{n\log{n}}}$ o $\sqrt{\log{n}}$ ?

Me parece que la segunda debería ser la respuesta, pero me parece difícil de probar ya que las derivadas se vuelven muy complejas. ¿Alguien sabe alguna idea?

Answer 1

La primera es (sin tener en cuenta las pequeñas $n$ ) mayor que $\log (n^{1/2})= \frac12 \log n$ .

Así que el ajuste $a = \log n$ el primero es mayor que $a/2$ mientras que este último es $\sqrt{a}$ . De ahí que su intuición no fuera correcta y que el primero crezca más rápido.

Answer 2

Para $n >> 1$ :

$\log{\sqrt{n\log{n}}} = \frac{1}{2} \log{(n\log{n})} > \frac{1}{2} \log{n} > \frac{1}{2} \sqrt{\log{n}}$ .

Así, el primer término crece más rápido.

Answer 3

El primero (azul en el gráfico) crece más rápido

Answer 4

Primero hay que tener en cuenta que si $f(n)$ y $g(n)$ son ambas funciones positivas y $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=\infty$$ Entonces podemos decir que $f(n)$ crece más rápido que $g(n)$ como $n$ se acerca a $\infty$ . Simbólicamente esto se escribe como $f(n)\gg g(n)$ . Así que ahora tenemos $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\log\left(\sqrt{n\log n}\right)}{\sqrt{\log n}}$$ Dejemos que $k=\sqrt{\log n}$ entonces $$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\log\left(\sqrt{e^{k^2}}k\right)}{k}$$ $$=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\log\left(\sqrt{e^{k^2}}\right)+\log k}{k}$$ $$=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\frac12 k^2+\log k}{k}$$ $$=\frac12\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k^2+2\log k}{k}$$ $$=\frac12\lim\limits_{k\to\infty}\left(k+\frac{2\log k}{k}\right)=\infty$$ Por lo tanto, como $n\to\infty$ , $$\log\left(\sqrt{n\log n}\right) \gg \sqrt{\log n} $$