¿Existe una regla de Golomb incontable?

Question

¿Existe un conjunto de innumerables $G\subset \mathbb{R}$ tal que, $a,b,c,d \in G$, si $a-b=c-d$ y $a=c$ y $b=d$?

Answer 1

No es necesario. Basta para exhibir una incontable colección de números reales que es linealmente independiente sobre $\mathbb{Q}$, y en las respuestas a esta pregunta de MOse presentan ejemplos de libre elección explícitos.

Answer 2

Creo que (asumiendo que la opción). Que $G$ sea una base del espacio vectorial de $\Bbb{R}$ $\Bbb{Q}$. Entonces $G$ es, entre otras cosas, linealmente independientes sobre $\Bbb{Z}$ e incontables.

Answer 3

Orden bien $\Bbb R$, y proceder por inducción transfinita para definir $G_\alpha$.

Supongamos que para todo $\alpha<\beta$, $G_\alpha$ fue definido. A continuación, $G_\beta=\bigcup_{\alpha<\beta}G_\alpha\cup\{r_\gamma\}$ donde $r_\gamma$ es el mínimo número real en el ordenamiento hemos fijado tal que la adición de $r_\gamma$ no viola la propiedad de ser una regla de Golomb.

Sólo es necesario mostrar que si $\bigcup G_\alpha$ es contable, entonces ese $r_\gamma$ existe. Pero tenga en cuenta que $|\{a-b\mid a,b\in\bigcup G_\alpha\}|\leq|\bigcup G_\alpha|+\aleph_0$. Por lo tanto, si $\alpha<\frak c$ entonces no es $r\in\Bbb R$ que $a-r$ $r-a$ son únicos para todos los $a\in\bigcup G_\alpha$. Así que, de hecho, la inducción puede continuar todo el camino hasta el $\frak c$.

La verdadera pregunta es si tenemos el axioma de elección en el fin de mostrar que tal cosa existe. Si usted puede demostrar que dicho conjunto no puede tener un perfecto subconjunto, entonces asumiendo que cada innumerable conjunto de reales tiene un conjunto perfecto (y es coherente con el fracaso del axioma de elección) se puede demostrar que no incontable regla de Golomb existe. Pero no sé si este tipo de conjunto no puede contener un conjunto perfecto.