¿Está basada la matemática en suposiciones?

Question

Me encontré con esta declaración cuando estaba dando una clase a un estudiante de matemáticas y estrictamente hablando utilicé:

Suponiendo que el valor de $x$ es igual a , ...

Uno de mis estudiantes se levantó y me preguntó:

¿Por qué asumimos tanto en matemáticas? ¿Realmente está construida la matemática en base a suposiciones?

No pude responderle, porque, hasta donde yo sé, muchas cosas son simplemente suposiciones. Por ejemplo:

• $1/\infty$ es igual a cero,
• $\sqrt{-1}$ es $i$, etc.

Entonces, ¿les importaría decirme si la matemática está construida en base a suposiciones?

Answer 1

Para responder a la acusación de que "asumimos mucho en matemáticas": las matemáticas involucran el análisis de varios hipotéticos. Cuando digo "si X entonces Y", podría necesitar asumir X hipotéticamente mientras estoy en el proceso de probar la implicación, pero esto no requiere presunción de ninguna manera. ¡Uno puede fácilmente aceptar "si X entonces Y" y su prueba sin necesidad de aceptar X en absoluto!

Por otro lado, hay varias configuraciones de axiomas que se pueden elegir como fundamento lógico de las matemáticas, con ZFC como el estándar tácito. Fuera de fundamentos y teoría de conjuntos y teoría de modelos y lógica y demás, la lista de axiomas es relativamente pequeña (en comparación con la totalidad de la teoría de cualquier contexto matemático con todas las diferentes teoremas y fórmulas) y, aún más importante, inmutable, por lo que esto no es relevante para la acusación de "asumir tanto en matemáticas".

Y aún más alejado de la presunción, muchas cosas en matemáticas (como en cualquier otro lugar) no son realmente "suposiciones" sino convenciones y definiciones. Por ejemplo, no "asumo" que una manzana es una fruta roja o verde que crece en los árboles, simplemente así está definido.

Answer 2

La suposición básica del "matemático trabajador" es la siguiente: El entorno lógico y de teoría de conjuntos de sus deliberaciones no es contradictorio.

Cuando decimos: "Supongamos que el triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $C$" entonces esto no es una suposición sobre el "universo de la verdad", sino el anuncio de que estamos hablando de triángulos rectángulos en lo que sigue.

Answer 3

En mi primera clase en la universidad, Álgebra Lineal I, el profesor comenzó contándonos lo siguiente, lo cual he grabado profundamente en mi memoria:

Las matemáticas son una ciencia de deducciones. Asumimos ciertas cosas, y extraemos conclusiones a partir de ellas.

Más tarde aprendí que también asumimos que nuestras reglas de inferencia son coherentes y que los fundamentos son sólidos. Por supuesto, no podemos realmente demostrar estas cosas en su totalidad, ya que eso equivaldría a verificar infinitamente muchas cosas, lo cual no podemos hacer. Siempre tenemos que asumir cierta consistencia en el sistema con el que trabajamos. Por supuesto, no solo ensamblamos reglas al azar y asumimos que funcionan, tenemos más de unos pocos siglos en los que las matemáticas se basaron en "deducciones naturales", por así decirlo, lo que nos permite intentar destilar las suposiciones con las que queremos trabajar.

Este es uno de los argumentos contra los matemáticos que los formalistas, o las personas que ven las matemáticas como un formalismo, toman: simplemente están manipulando símbolos en hojas de papel, y todo es vacío porque son muchas suposiciones que rara vez tienen algo que ver con la realidad.

Pero entonces, ¿realmente podemos demostrar que ayer ocurrió? ¿que estamos vivos? ¿que existimos? No en un sentido matemáticamente riguroso, y plenamente convincente. Pero tenemos cierta coherencia, cierta consistencia, y fácilmente nos convencemos de nuestra propia existencia, y de que no comenzó ayer. Incluso si todo es mentira, y todos ustedes están en mi cabeza -- no me creerían si les dijera eso.

Answer 4

Creo que una mejor manera de decir esto es que en matemáticas no se asume nada. Casi cada enunciado matemático realmente está diciendo: "si esto es cierto, entonces también es cierto".

Ciertas suposiciones son tan comunes que por lo general se dejan de lado (supongamos que $\mathbb{R}$ es un conjunto de elementos que tiene las siguientes propiedades...), pero nunca debes cometer el error de asumir algo por definición.

Answer 5

$\frac{1}{\infty} = 0$ no es una suposición, es una convención. $\sqrt{-1} = i$ es solo la representación simbólica. 'i' simplemente representa $\sqrt{-1}$. Cuando comenzamos a demostrar un teorema, asumimos la hipótesis requerida e intentamos obtener algunos resultados nuevos mediante pasos lógicos, por lo que asumimos algo como hipótesis en cada teorema.