¿Tratando de encontrar una función cuya derivada es $\cfrac{4x^3}{x^4+1}$ alguna idea?

Question

El armario que puedo conseguir es

$\arctan(x^4) $

es el derivado de $\arctan(x^4)$ $\dfrac{4x^3}{x^8 + 1} ...$

¿Algún consejo?

Answer 1

Advertencia: La siguiente explicación es para aquellos que todavía no tienen conocimiento acerca de la Integración/Anti-Derivada. En este ejemplo se hace hincapié en el hecho de abordar una Integración con sólo el conocimiento de la diferenciación

Lo que usted está tratando de determinar es llamado anti-derivadas o de Integración. En vista de que considere la posibilidad de la explicación detallada de cómo se debe mirar sobre el problema. Lo que sabemos $$\frac{df(x)}{dx}=\frac{4x^3}{1+x^4}\tag1$$ Necesitamos saber qué $f(x)$ es? Permite reescribir $(1)$ $$df(x)=\frac{4x^3}{1+x^4}dx$$ Permite sustituir $y = 1+x^4, dy = 4x^3dx$, luego tenemos $$df(x)=\frac{dy}{y}\tag2$$ Ahora, a partir de su conocimiento de la derivada, usted sabe que $$\frac{d}{dy}(\log y +C) = \frac{1}{y}$$ $$d(\log y +C) = \frac{dy}{y}\tag3$$ sustituyendo $(3)\text{ on }(2)$ $$df(x)=d(\log(y) +C)$$ Sustituya $y = 1+x^4$ $$df(x)=d(\log(1+x^4)+C)$$ Por lo $f(x)=\log(1+x^4)+C$

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta que la derivada de $x^4 + 1\;$$4x^3$.

Si dejamos $f(x) = x^4 + 1$, entonces sabemos $f'(x) = 4x^3$. A continuación, tenga en cuenta que $$\frac{4x^3}{x^4 + 1} = \dfrac{f'(x)}{f(x)}\tag{1}$$

Y todas las integrales de la forma $\displaystyle \int \dfrac{f'x}{f(x)}\,dx $ evaluar como $$\int \dfrac{f'x}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C \tag{where C is some constant}$$

• Sólo tenga en cuenta que $\;\frac{d}{dx}(\ln|f(x)| + C) = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ (por la regla de la cadena).

Si ya saben cómo integrar, usted encontrará podemos integrar por sustitución:

Deje $u = f(x) =x^4 + 1$,$f'(x) = du/dx = 4x^3 \implies \; du = 4x^3 \,dx$.

$$ \begin{align} \int \dfrac{4x^3\,dx}{x^4 + 1}\tag{By %#%#%} & = \int \dfrac{du}{u} = \ln|u| + C \\ \\ & = \ln(x^4 + 1) + C \\ \\ \end{align} $$

(debido a que $(1)$, no necesitamos el valor absoluto signo: $x^4 + 1 \gt 0$

Si usted no ha aprendido la integración, tenga en cuenta que $|x^4 + 1|)$ es precisamente la derivada de $\; \dfrac{4x^3}{x^4 + 1}\;$.

Puedes comprobar por ti mismo: usando la regla de la cadena, obtenemos $\ln(x^4 + 1)$$

Answer 3

Sugerencia: Sustituir a $u=x^4+1$.

Answer 4

Básicamente, usted quiere encontrar

$$\int dx \: \frac{4 x^3}{x^4+1}$$

Tenga en cuenta que

$$d(x^4) = 4 x^3 dx$$

para que la integral es

$$\int \frac{d(x^4)}{x^4+1} = \log{(x^4+1)} + C$$