Una solución de una oda con una fuente pequeña de límite

Question

Tengo una ODA de la forma

$$ f''(x) + f(x) = \epsilon g(x)$$

con las condiciones iniciales

$$ f(0) = f'(0) = 0 $$

$g(x)$ $O(1)$ $\epsilon \to 0$ , e $g(x)$ es tan suave como sea necesario. Hay una manera que puedo enlazado $f(x)$? En particular, me gustaría ser capaz de reclamar que $f(x)$ debe $O(\epsilon)$ $\epsilon \to 0$ todos los $x>0$, pero no estoy seguro de si esto es cierto o cómo acercarse a este. Cualquier sugerencias/consejos sería muy apreciada.

EDIT: también sé que $g(0) = g'(0) = 0$, si que ayuda con cualquier cosa.

EDIT2: Al ver las respuestas, creo que podemos ver que los valores de $g$ $g'$ $0$ son irrelevantes mientras $g(x) = O(1)$.

Answer 1

Usted puede escribir la ecuación como un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales. Hay una forma cerrada para la solución de dicho sistema. En particular, usted tiene que:

1. Encontrar las soluciones de la homogénea problema y los echan en una matriz de $X$
2. Calcular la solución particular como $X\int X^{-1} \underline{f}(x)$ donde $\underline{f}$ en el lado derecho en el sistema lineal de la formulación.

Ahora, si usted puede calcular la integral, entonces usted tiene una fórmula explícita para la solución, y usted puede encontrar un enlace. De lo contrario, usted necesita para acotar la integral, para encontrar un obligado para la solución.

Nota: dado que tanto las condiciones iniciales son cero, la solución particular es LA solución a su problema.

Answer 2

Poner $f_1 = f$, $f_2 = f'$. Entonces$f_1' = f_2$ y la ecuación da$$f_2' = -f_1 + \epsilon g.$ $ Thus we have a system $ $\frac{d}{dx} \left( \begin{matrix}f_1 \\ f_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}f_1 \\ f_2 \end{matrix} \right) + \epsilon \left( \begin{matrix} 0 \\ g \end{matrix} \right), \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left( \begin{matrix}f_1(0) \\ f_2(0) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} \right).$$ You can solve this systems explicitly using an integrating factor (and matrix exponentials) then look for a bound on $ f_1$ since $ f_1 = f $.