Divisores de $5^{n!}-3^{n!}$

Question

Encontrar el número de enteros $k$ $\{1, \dots , n \}$ tal que $k \mid 5^{n!}-3^{n!}$.

He estado tratando de ver solo por la prueba de los números naturales n uno a la vez, con la esperanza de ver un patrón para esto, sin mucho éxito. Me pregunto qué debo intentar resolver esto.

Answer 1

Un poco más explicite:
Tenemos por el teorema de Euler que $$ a^{\varphi(m)}-b^{\varphi(m)} \equiv 0 \pmod m$% $ de \varphi(m) de $ where $es la función φ de Euler. Una simple consecuencia de esto, que también es $$ a^{\varphi(m)\cdot x}-b^{\varphi(m) \cdot x} \equiv 0 \pmod m$ $ para cualquier $x \gt 1$.
Contamos con también $\varphi(m) \lt m$. Ahora veamos los exponentes en la fórmula: porque son factoriales, que contienen algunas solicitadas $m \le n$ todos los números $k \lt m$. Así que uno de los $k$ debe ser $\varphi()$ de m.

Proceder en el pensamiento de usted mismo...

Answer 2

Aquí es una sugerencia para ayudarle a empezar.

$k\ |\ 5^{n!} - 3^{n!} \Rightarrow 5^{n!} \equiv 3^{n!} \bmod n$.

A su vez, $5^{n!} \equiv 3^{n!} \bmod n$ es verdadero si y sólo si

$$5^{n!} \equiv 3^{n!} \bmod p^k$$ for all primes $p$ such that $p^k\ | \ $ n n$ and $p^{k+1}\not|\

Para ayudar con eso, tenga en cuenta, Teorema de Eulery que $\phi(p^k) = (p-1)p^{k-1}$.

Answer 3

Sugerencia: Porque $\phi(n) \leq n$, se puede utilizar Teorema de φ de Euler.