¿Por qué es la adición reales Cohen tan poco "interesantes"?

Question

La siguiente en este artículo (Otmar Spinas, productos apropiados. Procedimiento de la AMS, 137 (8), (2009), 2767-2772):

$ \mathbb{L}^2 $ añade a un Cohen real. Así se consideró poco interesante desde el punto de vista obligando a.

¿Por qué es así? (Me refiero a la frase última, no la instrucción formal).

Answer 1

Algunas sugerencias:

1. Cohen obligando está bastante bien comprendido y estudiado obligando noción. Decir que $\mathbb L^2$ está "poco interesante" podría significar simplemente que nos encontramos con una noción de forzar acerca de lo que ya sabemos todos lo que hay que saber. (Aunque, por supuesto, esto es una exageración.) Sin embargo, no acabo de comprar que este es el sentido en el que el comentario en cuestión ha sido hecho, ya $\mathbb L^2$ no es equivalente a Cohen forzar, y el cociente $\mathbb L^2/\mathrm{Cohen}$ aún podría ser digno de investigación.

2. En lugar de la anterior, creo que el comentario fue hecho en el contexto de cómo Lavamanos obligando a sí mismo es utilizado. Recordemos que $\mathbb L$ fue introducido a lidiar con el Borel conjetura, mostrando que es de hecho consistente en que la única gran medida cero conjuntos son numerables de conjuntos. Por otro lado, Cohen obligando a las fuerzas que el modelo de terreno de reales forman un fuerte conjunto de medida cero. Esto sugeriría a alguien que ha estudiado $\mathbb L$ que $\mathbb L^2$ no comparte las propiedades clave de $\mathbb L$ que fueron la razón para estudiar en el primer lugar. Para una analogía, pensemos en un árbol de Suslin $\mathbb S$ como la ccc, obligando noción y compararlo con $\mathbb S\times\mathbb S$, que no es de la ccc. Si por alguna razón uno está trabajando en un contexto donde sólo ccc forzamientos están siendo considerados, esto haría $\mathbb S\times\mathbb S$ forzar un poset que uno puede descartar. $$ $$ La siguiente cita de Blass Manual de artículo (disponible aquí) sobre el cardenal características sugiere que este es el sentido en el que se hizo el comentario:

   Históricamente, Lavamanos forzar y contable apoyo iteración se introdujeron juntos en [72]. Con el propósito de que el papel, la producción de un modelo de Borel conjetura, uno necesita dominar todo terreno modelo de reales, pero uno no se debe introducir Cohen reales, por lo que tampoco Hechler forzar ni de un número finito de apoyo de la iteración puede ser utilizado.

3. Hay una tercera opción, que me he saltado originalmente desde I figura Andreas o Arthur frente a este punto mejor que yo, pero, al menos, la mención debe hacerse de la misma. Es decir, puede ser que el interés en el forzamiento es desde el punto de vista de su efecto sobre el cardenal características, y la presencia de Cohen reales presumiblemente trivializa la combinatoria en el continuo presente, después de forzar por $\mathbb L$. No es demasiado claro, sin embargo, que la adición de Cohen reales, destruye todas las relaciones interesantes en el Cichon diagrama, puesto que, de nuevo, el cociente $\mathbb L^2/\mathrm{Cohen}$ no es trivial. (Tan lejos como puedo ver, no es que $\mathbb L^2$ factores $\mathbb P*\mathrm{Cohen}$ algunos $\mathbb P$.)

Muy relacionado (y esta es la razón por la que he mencionado Suslin árboles y el fracaso de la ccc en el producto) es el tema de la preservación de propio, que es el contenido de la ponencia. Como se explica allí, $\mathbb L^\omega$ no ser la correcta, y esto es debido a la adición de Cohen reales. De todos modos, creo que el comentario demasiado ambiguo. Como un árbitro me hubiera pedido Otmas para aclarar de manera muy explícita lo que el comentario quiere decir, o eliminarlo por completo.