¿"Refinamiento" de la existencia de representaciones fieles de la C-álgebra?

Question

Conway, en un curso de operador de teoría, trae la instrucción 1. a continuación como un teorema y la declaración 2. a continuación, como un ejercicio. Aún así, afirma que 2. refina 1., pero no puedo verla.

1. Cada C*-álgebra $\mathcal{A}$ tiene una representación fiel. $A$ tiene una fiel representación de la $(\pi,\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$ separable si y sólo si hay un número de estados contables en $\mathcal{A}$ que separan los puntos de $\mathcal{A}_+$, cada uno de los cuales define un separables de la representación. En particular, cada separables C*-álgebra tiene una fieles, separables de la representación.
2. Si $\mathcal{A}$ es un separables C*-álgebra y $\left\{\phi_n\right\}$ un débil* denso secuencia en el espacio de estado, poner $\phi=\sum_n2^{-n}\phi_n$. A continuación, $\phi$ es un estado y la representación de $\pi_{\phi}$ es fiel.

¿Cómo 2. refinar 1.?

Answer 1

Branimir había publicado una respuesta como un Comentario:

2.refina 1. porque la representación construida en 1. es, en general, una suma directa de las infinitamente muchas representaciones de GNS, es decir, las representaciones de Estados en $\mathcal A$, mientras 2. le da una única representación de GNS que hace el trabajo.