Puede dar un ejemplo de un complejo problema matemático que es fácil de resolver?

Question

Estoy trabajando en una presentación de un proyecto y quisiera ilustrar que a menudo es difícil o imposible estimar la duración de una tarea. Me gustaría hacer el punto por la presentación de tres problemas de matemáticas (pruebas, probablemente) que en la superficie se vea igualmente desafiante. Pero...

• Es simple de resolver (o probar)
• Uno es complejo de resolver (o probar)
• Y uno es imposible

Así que si un matemático no puede simplemente mirar un problema y decir, "yo lo puedo resolver que en un día, o una semana, o un mes, ¿cómo puede alguien que es verdaderamente la solución de un problema? La naturaleza misma de la resolución de problemas es que no sabemos donde las soluciones se encuentra y por lo tanto no sabemos cuánto tiempo va a tomar para llegar allí.

Cualquier entrada o sugerencia, sería muy apreciado.

Answer 1

Esto no es exactamente lo que estás pidiendo, pero debe servir para el mismo propósito muy bien.

Hilbert dio una charla en 1920, en los que habló de la dificultad de los diversos problemas.

Dijo que se habían logrado grandes avances en la teoría analítica de números en los últimos años, y esperaba vivir para ver una prueba de la Hipótesis de Riemann.

Último Teorema de Fermat, dijo, era más difícil; tal vez el más joven de los miembros de su audiencia viviría para ver una prueba.

Pero el problema de determinar si ^{\sqrt2}$ es trascendental era tan duro que ni siquiera los hijos de las personas más jóvenes en la audiencia iba a vivir para ver una solución a ese uno.

Con el beneficio de la retrospectiva, podemos ver que Hilbert había exactamente al revés.

^{\sqrt2}$ fue resuelto en 1929 - Hilbert vivió para verlo.

Fermat, como sabemos, se mantuvo hasta la década de 1990.

Y la Hipótesis de Riemann es todavía incierta.

El punto de la historia no es para burlarse de Hilbert. El punto de la historia es que si incluso Hilbert, el mayor matemático de su época, podía ser tan malo en el juicio de la relativa dificultad de diversos problemas matemáticos, entonces debe de ser una cosa difícil de hacer - que, creo, es el punto que está tratando de hacer.

Answer 2

Para un entero $n$, let's seek integral solutions of $x^3 + y^3 + z^3 = n$.

1) Cuando $n = 29$ a solution is easy to find: $(x,y,z) = (3,1,1)$.

2) Cuando $n = 30$ es más difícil encontrar una solución, pero uno es conocido: $$ (x,y,z) = (2220422932,-2218888517,-283059965). $$ Este fue encontrado en 1999. (Para más información sobre esto, consulte la sección 3.2 de N. Elkies, "puntos Racionales cerca de curvas y pequeño distinto de cero $|x^3-y^2|$ a través de la reducción de celosía," las HORMIGAS de 2000, páginas 33 a 64.)

3) Cuando $n = 33$ esperamos que haya una solución, pero ninguno se conoce en la actualidad como tengo entendido.

Answer 3

Un conjunto que (creo) cumple con sus requisitos, y para que las declaraciones son accesibles a muchos:

1. Demostrar que $\sqrt{2}$ es irracional
2. Demostrar que $e$ es irracional
3. Demostrar que $e+\pi$ es irracional

Answer 4

Un ejemplo famoso, aunque es posible que se requieran más de fondo de lo que quisiera, es Burnside del problema, el cual plantea lo siguiente: si un grupo es finitely generado y tiene la propiedad de que cada elemento tiene orden de $n$ for some fixed positive integer $n$, es necesariamente finito?

• Para $n = 2$ the answer is yes by a straightforward argument. If $a, b$ are two elements of the group, then $a^2 = b^2 = (ab)^2 = e$ implies $ab = ba$, so the group is abelian and has order dividing ^m$ where $m$ es el número de generadores.
• Para $n = 3, 4, 6$ la respuesta está sí, pero el argumento es más difícil.
• Para $n = 5$ el problema sigue abierto! (Creo que. De acuerdo a Wikipedia, al menos en el caso específico de dos generadores todavía está abierto.)

Answer 5

Es fácil multiplicar dos de 20 dígitos de los números primos, pero ¿qué pasa si usted tenía para el factor de su producto? Ahí tienes un problema fácil y un problema difícil.