¿La acotación en $L^2$ implica la convergencia casi en todas partes?

Question

Sea $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ un dominio acotado y $\{u_n\}\subset L^2(\Omega)$ una secuencia no negativa. Supongamos que $$ \int_\Omega u_n^2dx=\int_\Omega u_ndx, \quad \quad \forall n=1,2,3,\cdots. \tag{1} $$ Por (1) y la desigualdad de Holder, se obtiene fácilmente que $$ \|u_n\|_{L^2(\Omega)}\leq \text{mes} (\Omega)^{\frac{1}{2}}. \tag{2} $$

Se sigue de (2), que hasta una subsecuencia, tenemos que $$u_n\rightharpoonup u\quad \text{ débilmente en } L^2(\Omega) \tag{3} $$ para algún $u\in L^2(\Omega)$. Ahora, usando (3) y (1), obtenemos que $$ \int_\Omega u_n^2dx=\int_\Omega u_ndx\rightarrow \int_\Omega udx. \tag{4} $$ Ahora, la pregunta es: ¿podemos deducir de esta información, especialmente (4) que, hasta una subsecuencia, $u_n$ converge casi en todas partes a $u$ en $\Omega$?

Aquí, me gustaría mencionar que las secuencias que satisfacen (2) y (3) pueden no tener una subsecuencia que converja casi en todas partes: tome $u_n(x)=\sin(nx),x\in (0,2\pi)$. Entonces $$ u_n\rightharpoonup 0:=u \text{ débilmente en } L^2(0,2\pi), \quad \int_0^{2\pi}u_n^2dx=\pi\neq0= \int_0^{2\pi}udx. $$ Pero $u_n$ no puede tener una subsecuencia que converge casi en todas partes a $u=0$.

Answer 1

Gracias por tu apoyo. Una lectura cuidadosa del ejemplo muestra que la pregunta planteada arriba es falsa. De hecho, sea $$ u_n(x)=\frac{2}{3}(1+\sin(nx)). $$ Entonces se puede ver fácilmente que $$ u_n\rightharpoonup \frac{2}{3} \text{ débilmente en } L^2(0,2\pi), \quad \quad \int_0^{2\pi}u_n^2dx=\int_0^{2\pi}u_ndx=\frac{4}{3}\pi. \tag{*} $$ Ahora, si existe una subsucesión $\{n^{'}\}$ de $\{n\}$ tal que $u_{n^{'}}(x)\rightarrow 2/3$ casi en todas partes en $(0,2\pi)$, entonces el teorema de convergencia dominada de Lebesgue ($0\leq u_n^2\leq 16/9$) nos da $$ \lim_{n^{'}\rightarrow \infty}\int_0^{2\pi}u_{n^{'}}^2dx=\int_0^{2\pi}(\frac{2}{3})^2dx=\frac{8}{9}\pi, $$ lo cual es incompatible con (*). Por lo tanto, $u_n$ no tiene ninguna subsucesión que converge casi en todas partes a $2/3$ en $(0,2\pi)$.

Una nota adicional: si alguna vez existe una subsucesión $\{n^{'}\}$ de $\{n\}$ tal que $u_{n^{'}}(x)\rightarrow f$ casi en todas partes en $(0,2\pi)$, entonces usando el teorema de Egoroff debemos tener $f=2/3$ casi en todas partes en $(0,2\pi)$