Encontrar subespacios vectoriales

Question

Tengo este problema:

Deje $H = \left \{ x \in \mathbb{R}^{4} \, \left| \, x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \right. \right \}$

Encontrar, si es posible, $a \in \mathbb{R}$ $S, T$ subespacios vectoriales de manera que $\dim(S) = \dim(T)$, $S + T^\perp = H$, $S \cap T = \left \langle (1, a, 0, -1) \right \rangle$

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Lo que tengo es:

• Utilizando el teorema de la dimensión de espacios vectoriales: $\dim(S+T^\perp) = \dim(S) + \dim(T^\perp) - \dim(S \cap T^\perp) = \dim(H)$. Desde $H$ $\mathbb{R}^{4}$ subespacio vectorial con una ecuación, $\dim(H) = 3$. Así $\dim(S) = 2$, $\dim(T^\perp) = 2$ y $\dim(S \cap T^\perp)=1$.
• Si $\dim(T^\perp) = 2$, $\dim(T)$ debe ser de 2 así. Por lo que he conseguido $S=\left \langle s_1, s_2 \right \rangle$ $T=\left \langle t_1, t_2 \right \rangle$
• Deje $s_1, s_2$ dos vectores linealmente independientes de subespacio $H$. Supongamos $s_1 = (0,1,1,0), s_2 = (0,0,2,1)$. A continuación,$S=\left \langle (0,1,1,0),(0,0,2,1) \right \rangle$.
• Deje $t_1, t_2$ dos vectores linealmente independientes de subespacio $H$. Supongamos $t_1 = (0,-2,0,1), t_2=(1,-1,1,1)$. A continuación, $T^\perp=\left \langle (0,-2,0,1),(1,-1,1,1) \right \rangle$
• Debido a $(T^\perp)^\perp = T \rightarrow T=\left \{ x \in \mathbb{R}^{4} / -2x_2 + x_4 = x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0 \right \}$

S y T satisface todas las condiciones del problema pregunta. Sé cómo encontrar a $S \cap T$, pero estoy un poco decepcionado hallazgo $a$. Cualquier sugerencia se agradece!

Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos que hay $S$, $T$, y $a$. Desde $v := (1, a, 0, -1) \in S \cap T \subseteq S + T^{\perp} = H$, uno ha $a - 0 + 2\cdot(-1) = 0$, lo $a = 2$.

No he entendido tu argumento para deducir las dimensiones de $S$$T$, así que voy a dar uno mismo:

Debido a $\dim (S\cap T) = 1$, puede conlude $1 \leq \dim T = \dim S \leq 2$ (Si $\dim T = \dim S > 2$, en el 4-espacio tridimensional se reunieron en la dimensión $>1$, que resulta de la dimesion fórmula que han dado). Pero la ecuación de $H$ dice que $w := (0, 1, -1, 2)$ $v = (1, 2, 0, -1) \in T$ son ortogonales: Así que si $\dim T = 1$,$w \in T^{\perp} \subseteq H$, pero $w \notin H$. Esto no puede ser. Por lo tanto,$\dim S = \dim T = 2$, como usted dijo.

Así que, ahora, todo lo que tienes que hacer, es complementar $v$ con vectores $u_1, u_2$, ortogonalmente a $v$, a una base de $H = \langle v, u_1, u_2 \rangle$, pongamos que terminar como base de $T^{\perp} = \langle u_1, u_2 \rangle$, y establecer $S = \langle v, u_1 \rangle$. Ahora $v \in T \cap S$, pero desde $u_1 \notin T$, los espacios de $S$ $T$ reunirse en $\langle v \rangle$.

Creo que se puede tomar $u_1 = (2, -1, -1, 0)$$u_2 = (0, -1, -5, -2)$, ambos deben ser ortogonales $v$$w$.

Yo tampoco entiendo, ¿cómo usted vino para arriba con su $T$ $S$ sin embargo, parece que podría no estar funcionando, pero no he mirado en ello, para ser honesto.