el menor valor posible para:$ \lfloor \frac{a+b}{c}\rfloor +\lfloor \frac{b+c}{a} \rfloor+\lfloor \frac{c+a}{b} \rfloor $

Question

Si sabemos que por cada$a,b,c>0$, ¿cómo podemos encontrar el valor mínimo posible para:

ps

Answer 1

La expresión $$ E := \frac {a + b} c + \frac {b + c} + \frac {c,+} b $$ es homogénea, por lo que podemos suponer $a + b + c = 1$. Entonces se convierte en $$ E = \frac 1 + \frac 1 b + \frac 1 c - 3 $$ Por el CS de la desigualdad obtenemos $$ \frac 1 + \frac 1 b + \frac 1 c \geq \frac {(1 + 1 + 1)^2} {a + b + c} = 9 $$ Por lo $E \geq 6$. Por la siguiente relación $$ \left\lfloor \frac {a + b} c \right\rfloor > \frac {a + b} c - 1 $$ (y los otros dieron por permutaciones cíclicas de las variables), tenemos $$ E' := \left\lfloor \frac {a + b} c \right\rfloor + \left\lfloor \frac {b + c} \right\rfloor + \left\lfloor \frac {c,+} b \right\rfloor > E - 3 \geq 6 - 3 = 3 $$ Ser $E'$ un entero, la desigualdad anterior es equivalente a $$ E' \geq 4 $$ Para concluir, tomemos nota de que para $a = b = 4$ y $c = 3$, $E' = 4$.

Answer 2

Ponga$(a,b,c)=(3,4,4)$ para obtener 4. Voy a mostrar que esto es óptima.

Supongamos, sin pérdida de generalidad que$a \leq b \leq c$. Dos casos:

Si$c \geq a+b$ #%% luego #% y$\lfloor\frac{c+a}{b}\rfloor \geq 1$ lo que la suma es de al menos 4.

Si$\lfloor\frac{c+b}{a} \rfloor \geq \lfloor\frac{a+b+b}{a} \rfloor \geq 3$ #%% luego #%,$c \leq a+b$,$\lfloor\frac{a+b}{c}\rfloor \geq 1$ lo que la suma es de al menos 4.

Answer 3

Me gustaría llegar a una línea de partida la prueba del hecho trivial de que$\left\lfloor x \right\rfloor>x-1$. Entonces

ps

Desde el lado izquierdo es un entero, entonces el valor más pequeño es$$\lfloor \frac{a+b}{c}\rfloor +\lfloor \frac{b+c}{a} \rfloor+\lfloor \frac{c+a}{b} \rfloor>\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}-3\ge3.$.

QED