Imagínese que usted está viajando fuera del$x$ - eje de tal manera que su velocidad en$x$ es$v(x)$. Si$v(x)=1$, a continuación, se pasa los números primos, a intervalos cada vez más largos, en promedio (por supuesto hay números primos cercanos, por ejemplo, los primos gemelos). ¿Hay alguna función$v(x)$ para que el evento de pasar a un primer vuelve uniformemente aleatorio, porque el tiempo de espera entre los primos que pasa se convierte en una constante? Por ejemplo,$v(x) = x / \log^2 x$ no lo hace bastante trabajo, en el que el retardo entre primos pasajeras todavía aumenta con la$x$.
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riza
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Mi interpretación más cercana a tu pregunta es que si hay una función de $v(t)$ tal que
$$\pi\left( \int_0^T v(t)dt\right)\sim aT$$
para algunos "el primer golpe" frecuencia $a$. La respuesta es sí. Vamos a ver un ejemplo básico. Indicar la posición de la función en $F(T) = \int_0^T v(t)dt$, a continuación, utilizando los PNT (Wikipedia / MathWorld), transformar la ecuación en una forma más manejable
$$ \frac{F(T)}{\ln F(T)} \sim aT.$$
Vamos a hacer uno mejor y garantizar la igualdad de la expresión anterior. (Este no es el mismo como la igualdad en el original de la fórmula asintótica con $\pi(\cdot)$, pero sigue estando nuestra original forma deseada, como una consecuencia lógica.) Tomar el negativo recíproco de ambos lados,
$$ \frac{1}{F(T)} \ln \frac{1}{F(T)} = -\frac{1}{aT},$$
y, a continuación, utilizar la función W de Lambert (Wikipedia / MathWorld) para simplificar,
$$ \ln\frac{1}{F(T)} = W\left(-\frac{1}{aT}\right)$$ $$ F(T) = \exp\left( - W\left(-\frac{1}{aT}\right)\right)$$
lo que da:
$$ v(t) = \frac{d}{dt} \exp\left( - W\left(-\frac{1}{at}\right)\right).$$
Nota puede utilizar un derivado de la fórmula para $W(\cdot)$ se encuentra en los enlaces de los artículos junto con la regla de la cadena, si así lo desean. Y se puede utilizar incluso mejor asíntotas de la primer función de conteo con el mismo inversa de la función de razonamiento con el fin de obtener velocidades con más uniforme el primer golpe.
EDITAR: puede haber problemas en la realización de este empíricamente debido a que el dominio de la $W$ función y cortes de ramas. Estoy teniendo problemas para descubrir cómo conseguir un trabajo gráfico de Alfa, o si mi fórmula debe ser aumentada para abordar algunos aspectos técnicos que no estoy viendo.
Una tautológica soluciones serían las variaciones de la función de paso de $$ v(x) = 1/d(p_x) $$ donde para cada $x$, $p_x$ es el mayor de los primos menores o iguales a $x$ $d(p)$ es la distancia entre el primer $p$ y el próximo primer. Por supuesto, podemos convertir esto en una función suave multiplicando por conveniente golpe funciones (y el ajuste de los niveles de los pasos ligeramente, así como para asegurar que el tiempo que se tarda en viajar entre dos primos sigue siendo el mismo).
Por desgracia, no tautológica solución, incluso conjetural, que asegura que los intervalos de tiempo entre dos primos, en promedio, convergen a un valor constante que se encuentra completamente fuera de su alcance. Si tuviéramos tal forma cerrada de la fórmula para la velocidad, luego, en particular, que podría producir una fórmula aproximada para la primer función de recuento $\pi(x)$ cuyo término de error tiende a 0. Esto no es aún conocido bajo la GRH y puede incluso no existir.
