Las funciones analíticas cerca de$\bar{z}$

Question

¿Hay una función analítica$f\colon\Bbb{C}\longrightarrow \Bbb{C}$ tal que para cualquier$z$ en el círculo unitario$\lvert f(z) - \overline{z}\rvert < 1$?

Answer 1

No, no hay tal función, porque si existiera, tendríamos

$$1 = \left\lvert\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert z\rvert = 1} \overline{z}\, dz\right\rvert = \left\lvert\frac{1}{2\pi i} \int_{\lvert z\rvert = 1} \bigl(\overline{z} - f(z)\bigr)\, dz \right\rvert \leqslant \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \lvert \overline{z} - f(z)\rvert \, dt < 1$$

por Cauchy de la integral teorema y el estándar de la estimación.

Nos encontramos con $\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert z\rvert = 1} \overline{z}\,dz = \frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi} e^{-it} ie^{it}\,dt = 1$ por evaluación directa, o por la observación de que $\overline{z} = 1/z$ sobre el círculo unidad. De Cauchy de la integral teorema afirma que $\int_{\lvert z\rvert = 1} f(z)\, dz = 0$, de la cual obtenemos la segunda igualdad.

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Una más geométrica argumento:

La condición de $\lvert \overline{z} - f(z)\rvert < 1$ sobre el círculo unidad implica que, como las asignaciones de la unidad de círculo a $\mathbb{C}^\ast$, $f$ es homotópica a $\overline{z}$, en particular, tienen el mismo bobinado alrededor de $0$, es decir,$-1$. Pero la liquidación número de $f$ (restringido a la unidad, el círculo alrededor de $0$ es

$$\frac{1}{2\pi i} \int_{\lvert z\rvert = 1} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz$$

que es el número de ceros de $f$ en la unidad de disco (contadas con multiplicidad): un número entero no negativo.

Answer 2

Permítanme dar una demostración alternativa. Supongamos$f$ es la función deseada. Entonces para $z\bar{z} = 1$:

ps

así$$ |z f(z) - 1| = |z| |f(z) - \bar{z}| < 1 $es una función analítica satisfacer$g(z) = zf(z) - 1$ #%% cada vez que #%. Por el principio del módulo máximo

ps

lo que da una contradicción.