En$C[0,1]$ probar que el subconjunto de funciones de Lipschitz es denso

Question

En$C[0,1]$ probar que el subconjunto de funciones de Lipschitz es denso. No puedo probarlo.

Answer 1

Polinomios son densos en$C[0,1]$ en Weierstrass. Esos son Lipschitz (en$[0,1]$).

Answer 2

No hay necesidad de sacar la artillería pesada .. Supongamos$f(x) \in C[0,1]$. Para un determinado$n$ let$f_n(x)$ sea la función lineal por tramos cuya gráfica se conecta$(0,f(0))$ a$(1/n, f(1/n))$ a$(2/n, f(2/n))$ a ... a$(1,f(1))$. Entonces$f_n(x)$ es continua, es Lipschitz ya que es lineal por tramos, y$f_n \to f$ en$C[0,1]$ como$n \to \infty$.