Ayuda con punto de comprensión del libro de Kahneman "Pensando rápido y lento"

Question

Mi pregunta: ¿Cómo Kahneman llegar al 60% en el número de la última frase ("el 60% de los pares")?

De Daniel Kahneman, el Pensamiento Rápido y Lento (Capítulo 19, la Ilusión de la Comprensión):

Actualización: a partir de sus respuestas, parece que el número debería haber sido del 65%, por lo que fue mal en el libro.

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Una muy generosa estimación de la correlación entre el éxito de la la firma y la calidad de su CEO podría ser tan alto como .30, indicando 30% de solapamiento. Para apreciar el significado de este número, considere la posibilidad de la siguiente pregunta:

Supongamos que considerar muchos pares de las empresas. Las dos empresas que en cada par son en general similares, pero el CEO de una de ellos es mejor que el otros. ¿Con qué frecuencia se encuentra que la empresa con la más fuerte CEO es la más exitosa de las dos?

Bien ordenado y predecible del mundo, la correlación sería perfecto, y el más fuerte CEO sería encontrado para conducir el más el éxito de una empresa en el 100% de los pares. Si el éxito relativo de similares de las empresas se determina enteramente por factores que el CEO no de control (les llaman suerte, si se desea), se encuentra el más el éxito de una empresa dirigida por el más débil CEO 50% del tiempo. Una correlación de .30 implica que se puede encontrar más fuerte CEO líder de la más fuerte de la firma en el 60% de los pares-una mejora de un mero 10 puntos porcentuales por encima de la estimación aleatoria, apenas grano para el héroe la adoración de los CEOs que tan a menudo testigo.

Answer 1

Si se tienen dos variables aleatorias $X,Y$, el coeficiente de correlación es

$$\rho=\frac{\mu_{XY}-\mu_X \mu_Y}{\sigma_X \sigma_Y}$$

donde $\mu$ denota la media de la variable y $\sigma$ denota la desviación estándar de la variable. Supongamos ahora que tenemos dos variables aleatorias de Bernoulli $X,Y$ (por lo que tomar sólo los valores de $0$$1$) y ambos tienen total probabilidad $0.5$ de $1$. En este caso el coeficiente de correlación $\rho$ es

$$\frac{P(X=1,Y=1)-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=4P(X=1,Y=1)-1.$$

Por lo $P(X=1,Y=1)=\frac{\rho+1}{4}$. La más interesante es la cantidad

$$P(X=1 \mid Y=1)=\frac{P(X=1,Y=1)}{P(Y=1)}=\frac{\rho+1}{2}.$$

Por lo tanto, si el coeficiente de correlación entre el CEO de la calidad y de la empresa de éxito es $\rho$ y el elegido al azar CEO es mejor, entonces la probabilidad de que la empresa sea exitosa es mayor por $\frac{\rho}{2}$, en relación a una empresa que es igualmente probable que tenga un buen CEO frente a un mal director ejecutivo. Así que en esta versión del modelo, el número debe haber sido $65\%$.

Answer 2

Aquí otra explicación intuitiva, de forma ligeramente diferente de las otras respuestas.

Estamos de acuerdo en que una correlación de 0 significa pura aleatoriedad, es decir, una probabilidad del 50% y una correlación de 1 significa puro determinismo, es decir, un 100% de probabilidad.

Ahora interpolar linealmente y obtener la siguiente relación lineal entre la probabilidad y correlación:

probabilidad = 50% + de correlación * 50%

Observar que se cumple (0, 50%) y (1, 100%). Para una correlación de 0,3 la fórmula nos da una probabilidad de 65%.

La respuesta del 60%, siempre que en el libro parece estar equivocado, o más detalles sobre los supuestos que deben ser proporcionados. Tenga en cuenta que el valor de 65% asume una relación lineal entre la correlación y probabilidad. Sinceramente, no sé si esta suposición puede ser realizada siempre.

Answer 3

Para (sobre todo el mío) el futuro de referencia, aquí está mi explicación intuitiva de la respuesta.

Si el CEO de la fuerza que no hizo ninguna diferencia, entonces, que la más fuerte CEO, de las 100 empresas, 50 sería "más exitosa" y 50 sería "menos éxito".

Si un fuerte CEO hecho una diferencia (.30 correlación), luego de 100 empresas, de 30 será la "más exitosa" para el más fuerte CEO porque de el .30 de correlación. Para el resto de los 70, la "más exitosa" las empresas se distribuirán por igual entre el más fuerte y el más débil de los CEOs (35 + 35).

Así, el más fuerte, CEO de hace 30 + 35 = 65 'más exitosos de las empresas. Por lo tanto el 65%.