$4494410$ y amigos

Question

El número $4494410$ tiene la propiedad de que cuando se convierte a base $16$ es $44944A_{16}$ entonces si el $A$ se amplía a $10$ en la cadena obtenemos de nuevo el número original.

$3883544142410_{10}=3883544E24A_{16}$ es otra.

Estas cifras están en OEIS A187829 . Vienen en bloques de $6$ o $10$ dependiendo de si el dígito del uno en hexadecimal es $A-F$ o $0-9$ .

Sospecho que la lista está completa, pero no lo he comprobado. El más grande es $806123145829415507126939101294137128298625241370656314360169_{10}=\\806C3E58294F507C6939AC94D7C829862524D706563E360169_{16}$

Si el número tiene $m$ dígitos hexadecimales y $n$ base $10$ dígitos, debemos tener $16^{m-1} \gt 10^{n-1}$ y $16^{m-2} \lt 10^{n-2}$ que lleva la caza a $m=6,n=7;\ m=11,n=13;\ m=16, n=19;\ m=50,n=60$ guiados por los convergentes de $\frac {\log 16}{\log 10}$ .

Podemos ver la búsqueda de estos números como la búsqueda de soluciones al problema de la suma de subconjuntos, donde cada dígito hexadecimal contribuye con la diferencia entre su valor en base $16$ y base $10$ (dependiendo de cuántos $16$ los dígitos de la derecha son $A-F$ y contando las dos bases $10$ dígitos procedentes de un dígito hexadecimal juntos). La suma entonces tiene que ser cero.

Mi programa de búsqueda funcionó razonablemente rápido incluso para el siguiente convergente, $m=535, n=644$ y no encontró ninguna. Creo que simplemente tienen demasiadas formas de fallar a medida que el número se alarga.

¿Podemos demostrar que no hay más, o al menos que no hay más con una probabilidad muy alta, en el sentido de las "pruebas" de Goldbach de que si los primos son "aleatorios" la probabilidad de que cualquier número par grande no tenga solución es muy baja?

Answer 1

Puedo probar una forma muy estrecha.

Consideremos números de la forma

$(D_{n-1}D_{n-2}.....D_{2}D_{1}D_0)_{10} = (D_{n-1}D_{n-2}.....D_2[A..F])_{16}$ .

Aquí cambian 2 cifras menos significativas en la representación decimal a [A..F]. Para estos números, las condiciones que deben satisfacer son,

$100*x + 10 = n$ ....(1)

$16*y + 10 = n$ ....(2)

Así que..,

$y = 6.25*x$ ....(3)

Supongamos,

$x_{10}$ es de la forma $....N_{k-1}N_{k-2}.....N_{2}N_{1}N_{0}$

o,

$x_{10} = ....+ (N_{k-1}10^{k-1}) + (N_{k-2}10^{k-2}) + ....+ (N_{2}10^2) + (N_{1}10^1) + N_{0}$

Así que..,

$y_{10} = ....+ (N_{k-1}16^{k-1}) + (N_{k-2}16^{k-2}) + ....+ (N_{2}16^2) + (N_{1}16^1) + N_{0}$

También de (3),

$y_{10} = 6.25(....+ (N_{k-1}10^{k-1}) + (N_{k-2}10^{k-2}) + ....+ (N_{2}10^2) + (N_{1}10^1) + N_{0})$

Así que..,

$(....+ (N_{k-1}16^{k-1}) + (N_{k-2}16^{k-2}) + ....+ (N_{2}16^2) + (N_{1}16) + N_{0}) = 6.25(....+ (N_{k-1}10^{k-1}) + (N_{k-2}10^{k-2}) + ....+ (N_{2}10^2) + (N_{1}10^1) + N_{0})$

Utilizar hasta 6 dígitos para x,

$(1048576N_5 + 65536N_4 + 4096N_3 + 256N_2 + 16N_1 + N_0) = (625000N_5 + 62500N_4 + 6250N_3 + 625N_2 + 62.5N_1 + 6.25N_0)$

o,

$42357600N_5 + 303600N_4 - 215400N_3 - 36900N_2 - 4650N_1 - 525N_0 = 0$

El valor en hexadecimal se retrasa hasta N3 porque el módulo inicial era 100 para decimal y 16 para hexadecimal. Pero a partir de N4, el valor hexadecimal supera al decimal para siempre.

La única solución para N5 (y superiores) entre 0 y 9 es 0. Tampoco hay soluciones posibles de menos de menos de 5 dígitos para x en (1).

Así que, esencialmente, los números de estas formas son sólo de 7 dígitos o de 2 dígitos, y las únicas soluciones posibles son,

10-15
4494410-4494415
5660810-5660815
6784010-6784015
7950410-7950415