Este es un muy impresionante pregunta. No he pasado mucho tiempo pensando acerca de este problema, así que estoy seguro de que usted tiene una mejor intuición de que de mí. Tengo una heurística argumento que parece sugerir que lo que desea es cierto para un gran $n$. Mi razonamiento es el siguiente.
Deje $P(i)$ denotar el mayor factor primo de un entero positivo $i$, y deje $S(x)$ ser definido por
$$S(x) = \sum_{2 \leq i \leq x} P(i).$$
Es un resultado de Krishnaswami Alladi y Paul Erdos (ver su artículo: Pacífico J. Math. 71(1977) 275-294) que
$$S(x) \sim \frac{\pi^2}{12}\frac{x^2}{\log x},$$
donde por `$\sim$" me refiero a la equivalencia asintótica (orden aproximado de crecimiento -- recuerde, este es un argumento heurístico, no se significa para ser precisos). Entonces la suma de los mayores factores primos de los números de $n+2, \dots, n+k$ está dado aproximadamente por $$\sum_{i = n+2}^{n+k} P(i) = \sum_{i = 2}^{n+k} P(i) - \sum_{i = 2}^{n+2} P(i) \sim \frac{\pi^2}{12}\left(\frac{(n+k)^2}{\log(n+k)} - \frac{(n+2)^2}{\log(n+2)}\right).$$
Al líder de la orden en $n$, la última expresión de arriba es de aproximadamente
$$\frac{\pi^2k}{6}\frac{n}{\log n}.$$
Ahora, si la afirmación es verdadera, de que el producto $(n+2)\cdots(n+k)$ tiene un factor primo mayor que $k$ todos los $n \geq k \geq 3$, por encima de la suma aproximada debe ser más grande que $k$ multiplicado por el número de factores que se multiplica, que es $n+k - (n+2) + 1 = k - 1$, así que de nuevo trabajando al líder de la orden, usted puede terminar encima de conseguir aproximado de la desigualdad
$$\frac{\pi^2k}{6}\frac{n}{\log n} \gg k(k-1),$$
y esta desigualdad en realidad no tiene para un gran $n$. Esta intuición me dice que su conjetura es verdadera!
Para concluir, permítanme mencionar donde el argumento anterior no es riguroso. He utilizado el resultado de Alladi y Erdos en una resta, pero tal vez el término de error en su resultado es tan grande que tal argumento no es válido. También me tiré un montón de no-principales términos en los lugares en que haya sido importante.
Una estrategia alternativa sería intentar mejorar Sylvester del Teorema; buscar una prueba y ver si se puede optimizar los métodos!
