Composición de una función armónica.

Question

Me di cuenta de esta cuestión durante la lectura de varios archivos PDF de notas de la conferencia, y estoy teniendo problemas para comprender. ¿Alguien puede ayudar?

Si$f$ es una función armónica en un dominio$D \subset \mathbb{C}$, y$g$ es una representación conforme de un dominio$D_0$ en$D$, es$f \circ g$ armónico en$D_0$?

Muchas gracias!

Answer 1

Deje$\phi(x,y)$ sea armónica en$D$. Deje$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ sea analítica en$D$ definir un mapeo$D\to D_0$. Deje$\Phi(u,v)=\phi(x,y)$$$\phi_x=\Phi_u u_x+\Phi_v v_x$ $$$\phi_y=\Phi_u u_y+\Phi_v v_y$ $$$\phi_{xx}=\Phi_{uu}(u_x)^2+\Phi_{uv} u_x v_x +\Phi_u u_{xx} +\Phi_{vv} (v_x)^2+\Phi_{vu} v_x u_x +\Phi_v v_{xx}$ $$$\phi_{yy}=\Phi_{uu}(u_y)^2+\Phi_{uv} u_y v_y +\Phi_u u_{yy} +\Phi_{vv} (v_y)^2+\Phi_{vu} v_y u_y +\Phi_v v_{yy}$ $$$\phi_{xx}+\phi_{yy}=[(u_x)^2+(v_x)^2][\Phi_{uu}+\Phi_{vv}]$ $ debido$u_{xx}+v_{yy}=0$,$v_{xx}+v_{yy}=0$,$u_xv_x=-u_yv_y$ de ahí$$\Delta \Phi = \frac{1}{|f'(z)|^2}\Delta \phi$ $% Así que si $f'(z)\ne 0$en$D$, entonces$\Phi$ es armónico n$D$

Answer 2

Tu pregunta puede ser interpretado en el contexto más grande de los "mapas de la preservación de la armónica de funciones".

Definición Deje $(M,g)$ $(N,h)$ ser de Riemann colectores. Un mapeo $\Phi:M\to N$ se dice que es un armónico de morfismos si siempre $u:N\to\mathbb{R}$ es una función armónica (resolución de $\triangle_h u = 0$ donde $\triangle_h$ es la de Laplace-Beltrami operador para la métrica de Riemann $h$) la composición de la $u\circ \Phi$ es un armónico de la función en $M$.

Teorema de Una asignación es una armónica de morfismos si y sólo si es un armónico mapa que es débilmente horizontal de conformación.

(No se preocupe demasiado acerca de los términos no definidos en el teorema anterior.)

Corolario Si $M$ $N$ tienen el mismo número de dimensiones, entonces

• Si la dimensión es 2, $\Phi$ es un armónico de morfismos si y sólo si $\Phi$ es de conformación.
• Si la dimensión es mayor que 2, $\Phi$ es un armónico de morfismos si y sólo si $\Phi$ es un mapa de conformación con un coeficiente constante de conformality.

Para la referencia, véase este artículo de Doblado Fuglede del.