Cómo calcular la norma de un ideal?

Question

¿Alguien por favor ayudar a explicar cómo calcular la norma de un ideal? No puedo encontrar una fuente que explica esto con claridad. Por ejemplo, sé que la norma$N_\mathbb{Q(\sqrt10)}(\langle2,\sqrt10\rangle)=2$, pero no está claro sobre cómo conseguir que yo mismo. Muchas gracias

Answer 1

En general, dada $I=(s_1,\dots,s_n)\lhd\mathcal{O}_K$ en el anillo de enteros de algunas campo de número de $K$, podemos factor en los números primos a fin de intentar su norma.

Usted puede ver la respuesta aquí lo que explica el racional detrás de él, pero el punto importante es que:

1. Si un primer $\mathfrak{p}\mid I$,$s_1,\dots,s_n\in\mathfrak{p}$. Deje $(p)=\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}$. Luego por la multiplicativity de la norma, sabemos que $\text{N}(\mathfrak{p})\mid\text{N}(s_i)$, e $\text{N}(\mathfrak{p})$ es siempre una fuente primaria de energía. Esto significa que los números primos en $\mathcal{O}_K$ dividiendo $I$ están por encima de lo racional primos dividiendo $\gcd(\text{N}(s_1),\dots,\text{N}(s_n))$: esto nos da una lista limitada a comprobar!
2. Si $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]$, a continuación se encuentra la posible primos $\mathfrak{p}=(p,g(\alpha))$. A continuación, $\mathfrak{p}\mid I$ si y sólo si $s_1,\dots,s_n\in(\overline{g})\lhd(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[\alpha]$.

En tu ejemplo, $\text{N}(a+b\sqrt{10})=a^2-10b^2$, lo $\text{N}(2)=4$, e $\text{N}(\sqrt{10})=-10$. Así que la única primos dividiendo $I=(2,\sqrt{10})$ son de norma $2$. En $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{10}]$, no es en realidad sólo un primer ideal de norma $2$, es decir,$\mathfrak{p}_2=(2,\sqrt{10})=I$.

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Como alternativa, puede utilizar la definición que $\text{N}(I)=|\mathcal{O}_K/I|$, y este método puede ser más rápido y con más simples ejemplos como estos. Debe ser bastante claro que $$ \mathcal{S}_K/I=\mathbb{Z}[\sqrt{10}]/(2,\sqrt{10})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $$