La intuición detrás de la Multiplicación de la Matriz

Question

Si me multiplicar dos números, decir $and$, I know it means add $to itself$ times or add $to itself$ veces.

Pero Si me multiplicar dos matrices, ¿qué significa ? Me refiero a que no puede pensar en términos de adición repetida.

¿Cuál es la forma intuitiva de pensar acerca de la multiplicación de matrices?

Answer 1

La multiplicación de la matriz es la composición de dos funciones lineales. La composición de dos funciones lineales es una función lineal.

Si una función lineal es representado por Una y otra de B, entonces AB es su composición. BA es el inverso de la composición.

Eso es una forma de pensar de ella. Esto explica por qué la multiplicación de la matriz es la forma en que en lugar de trozos de multiplicación.

Answer 2

Preguntar el por qué de la multiplicación de matrices no es sólo de las componentes de la multiplicación es una excelente pregunta: de hecho, la multiplicación de las componentes es, en cierto sentido, la más "natural" generalización de la real multiplicación de matrices: se satisface todos los axiomas que usted esperaría (asociatividad, conmutatividad, la existencia de la identidad y de la recíproca (para matrices con ninguna de las entradas de 0), la distributividad sobre la suma).

El usual de la multiplicación de la matriz, de hecho, "cede" conmutatividad; todos sabemos que en general AB != BA mientras que para los números reales ab = ba. ¿Qué ganamos? La invariancia con respecto a la de cambio de base. Si P es una matriz invertible,

$$P^{-1}AP + P^{-1}BP = P^{-1}(A+B)P$$ $$(P^{-1}AP) (P^{-1}BP) = P^{-1}(AB)P$$ En otras palabras, no importa qué criterios se utilizan para representar las matrices a y B, no importa qué opción de realizar su suma y el producto es el mismo.

Es fácil ver por intentar un ejemplo de que la segunda propiedad no se cumple para la multiplicación se define el componente racional. Esto es debido a que el inverso de un cambio de base de a $P^{-1}$ no longer corresponds to the multiplicative inverse of $P$.

Answer 3

La respuesta corta es que una matriz corresponde a una transformación lineal. Para multiplicar dos matrices es la misma cosa como redactar las correspondientes transformaciones lineales (o lineal mapas).

El siguiente es cubierto en un texto de álgebra lineal (como Hoffman-Kunze):

Esto tiene más sentido en el contexto de espacios vectoriales sobre un campo. Se puede hablar de espacios vectoriales y (lineal) de los mapas entre ellos, sin mencionar jamás una base. Cuando se elige una base, puede escribir los elementos del espacio vectorial como una suma de la base de elementos con coeficientes en el campo base (es decir, se obtiene explícito de las coordenadas de sus vectores en términos de por ejemplo los números reales). Si desea calcular algo, normalmente recoger las bases para sus espacios vectoriales. A continuación, puedes representar a tu lineal mapa como una matriz con respecto a las bases dadas, con las entradas en la base de su campo (ver, por ejemplo, el mencionado libro para más detalles en cuanto a cómo). Podemos definir la multiplicación de la matriz tal que la multiplicación de la matriz corresponde a la composición de los lineales de los mapas.

Añadido (Detalles en la presentación de una lineal mapa por una matriz). Deje $V$ and $W$ be two vector spaces with ordered bases $e_1,\dots,e_n$ and $f_1,\dots,f_m$ respectively, and $L:V\to W$ lineal en el mapa.

Primera nota de que desde la $e_j$ generate $V$ and $L$ is linear, $L$ is completely determined by the images of the $e_j$ in $W$, that is, $L(e_j)$. Explicitly, note that by the definition of a basis any $v\in V$ has a unique expression of the form $a_1e_1+\cdots+a_ne_n$, and $L$ applied to this pans out as $a_1L(e_1)+\cdots+a_nL(e_n)$.

Ahora, desde la $L(e_j)$ is in $W$ it has a unique expression of the form $b_1f_1+\dots+b_mf_m$, and it is clear that the value of $e_j$ under $L$ is uniquely determined by $b_1,\dots,b_m$, the coefficients of $L(e_j)$ with respect to the given ordered basis for $W$. In order to keep track of which $L(e_j)$ the $b_i$ are meant to represent, we write (abusing notation for a moment) $m_{ij}=b_i$, yielding the matrix $(m_{ij})$ of $L$ con respecto a la ordenada bases.

Esto podría ser suficiente para jugar con la razón por la multiplicación de la matriz se define de la manera que es. Pruebe, por ejemplo, un único espacio vectorial $V$ with basis $e_1,\dots,e_n$, and compute the corresponding matrix of the square $L^2=L\circ L$ of a single linear transformation $L:V\to V$, or say, compute the matrix corresponding to the identity transformation $v\mapsto v$.

Answer 4

Aparte de la interpretación como en la composición de funciones lineales (que es, en mi opinión, el más natural), otro punto de vista es que en algunas ocasiones útil.

Usted puede ver como algo parecido a una generalización de los elementales de fila/columna de operaciones. Si calcular A. B, entonces los coeficientes en la j-ésima fila de Una decirte, que combinación lineal de las filas de B, usted debe calcular y poner en la j-ésima fila de la matriz nueva.

Del mismo modo, puede ver A. B como hacer las combinaciones lineales de las columnas de a, con los coeficientes de lo prescrito por la matriz B.

Con esta perspectiva en mente, usted puede ver fácilmente que, si denotamos por a $\vec{a}_1,\dots,\vec a_k$ the rows of the matrix $A$, entonces la igualdad $$\begin{pmatrix}\vec a_1\\\vdots\\\vec a_k\end{pmatrix}B= \begin{pmatrix}\vec a_1B\\\vdots\\\vec a_kB\end{pmatrix}$$ sostiene. (Por supuesto, usted puede obtener esta igualdad directamente de la definición o por muchos otros métodos. Mi intención era ilustrar una situación, cuando la familiaridad este punto de vista podría ser útil.)

Answer 5

En primer lugar, Entender el Vector de la multiplicación por un escalar.

Entonces, pensar en una Matriz, reproducida por un vector. La Matriz es un "vector de vectores".

Finalmente, la Matriz X de la Matriz se extiende el antiguo concepto.