Evaluación de

Question

Evaluación del $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left[(1+n)^{\frac{1}{n}}\cdot \left(1+\frac{n}{2}\right)^{\frac{2}{n}}\cdot \left(1+\frac{n}{3}\right)^{\frac{3}{n}}.........2\right]^{\frac{1}{n}}$

$\bf{My\; Try::}$ Let $$ y = \lim_{n\rightarrow \infty}\left[(1+n)^{\frac{1}{n}}\cdot \left(1+\frac{n}{2}\right)^{\frac{2}{n}}\cdot \left(1+\frac{n}{3}\right)^{\frac{3}{n}}.........2\right]^{\frac{1}{n}}$$

Ahora tomando %#% $ #%

Así conseguimos %#% $ #%

Así $$ \ln y = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\cdot \ln\left[(1+n)^{\frac{1}{n}}\cdot \left(1+\frac{n}{2}\right)^{\frac{2}{n}}\cdot \left(1+\frac{n}{3}\right)^{\frac{3}{n}}.........2\right]$ $ ahora Convertinto Reinmann suma de integrales

Así que poner $$\ln y = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\left[\frac{1}{n}\cdot \ln(1+n)+\frac{2}{n}\ln\left(1+\frac{n}{2}\right)+........+\frac{n}{n}\ln\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ % entonces $$\ln y = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum^{n}_{r=1}\frac{r}{n}\ln\left(1+\frac{n}{r}\right)$y calcular límite

Así conseguimos %#% $ #%

Así conseguimos %#% $ #%

Ahora después nosotros integrar wil obtener $\displaystyle \frac{r}{n} = x\;,$ $

Así conseguimos %#% $ #%

Podemos resolverlo cualquier camino más corto, si es así entonces explique aquí

Gracias

Answer 1

Podríamos utilizar Stolz teorema que establece que: $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell\implica \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\ell$$ Ahora vamos a definir los $a_n$ $b_n$ como sigue: $$a_n={\sum^{n}_{r=1}r\ln\left(1+\frac{n}{r}\right)} \quad b_n=n^2$$ Así que: $$ \ln y = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}\sum^{n}_{i=1} r\ln\left(1+\frac{n}{r}\right)\\~\\={\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n+1}\left[\sum^{n+1}_{i=1} r\ln\left(1+\frac{n+1}{r}\right)- \sum^{n}_{i=1} r\ln\left(1+\frac{n}{r}\right)\right]}\\~\\ \geq \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n+1}\left[ (n+1)\ln\left(1+\frac{n}{n+1}\right)\right]\\~\\={\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{2n+1}\ln\left(1+\frac{n}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{n}}}\\~\\=\frac{1}{2}*ln(e)=\frac {1}{2} $$