Asistencia segundo orden no lineal ODE (convertido en un de primer orden)

Question

Estoy tratando de encontrar la solución al $y''=y+y^2$

Me di cuenta de que si multiplicado por $y'$ en ambos lados e integrado, el resultado sería

$\frac{1}{2}(y')^2=\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{3}y^3+c$

Casi no tengo experiencia con edos no lineales (que tienen esto como una especie de problema de bono en el libro que estoy leyendo en odas lineares) así que no sé cómo avanzar desde aquí (me conformo con la solución, donde c = 0 pero quisiera verlo donde c queda allí si es posible)

Answer 1

Considerar el $y''-y-y^2=0$. Como bien dices, multiplicar por $y'$: %#% $ de #% pero, esto, por la regla de la cadena, rendimientos, $$ y'y''-(y+y^2)y'=0 $ $ es esencialmente conservación de la energía si usted piensa de la Oda dada como segunda ley de Newton. Por supuesto, esto nos lleva a: $$ \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2}y'^2-\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{3}y^3 \right] =0 $ $ en este punto, en el vernáculo clásico, hemos reducido el problema a cuadraturas, así, modulo diversión integración, hemos terminado.