¿Pruebas alternativas (excepto diagonalización y conjuntos anidados topológicas) para uncountability de los reales?

Question

Recientemente he comenzado a estudiar la teoría de conjuntos y estoy teniendo un poco de dificultad en aceptar el Cantor de la diagonal de la prueba para el uncountability de los reales. También vi a un topológica de la prueba a través de conjuntos anidados para uncountability que todavía no me satisface completamente, dado que, al igual que la diagonal se basa en un proceso interminable. De hecho, el anidado de los conjuntos de prueba de sonidos muy parecida a la de la diagonalización una prueba para mí.

Hacer todas las pruebas de la uncountability de los reales implican la diagonalización? Existen otras pruebas puedo mirar a entender? No podía encontrar ninguna en la búsqueda de intercambio de la pila. Gracias.

Answer 1

Los números reales son un completo densamente conjunto ordenado sin extremos. Es decir, no hay un mínimo, no un máximo, entre cada dos puntos hay una tercera, y cada conjunto que tiene un límite superior tiene un mínimo de límite superior.

Teorema: Cada contables densa orden sin extremos es de orden-isomorfo a los números racionales.

Puesto que los números racionales no son el fin de completar, los números reales no son de orden-isomorfo a las racionales. Por lo tanto, los números reales no pueden ser contables.

Answer 2

No todas las pruebas de uncountability de los reales implican la diagonalización. De hecho, se puede probar sin diagonalización que $\mathbb R$ $\mathcal P(\mathbb N)$ tienen el mismo tamaño y, a continuación, dar una diagonalización libre de la prueba de que, por cualquier $X$, su poder establecer $\mathcal P(X)$ tiene un tamaño estrictamente mayor. Esto fue notado por Zermelo. Los detalles se pueden encontrar en este MO respuesta.

Brevemente: probar que si $f:\mathcal P(X)\to X$, $f$ no es inyectiva, explícitamente exhibiendo un par de $A\ne B$ de los subconjuntos de a$X$$f(A)=f(B)$. Zermelo del enfoque utiliza bien ordenamientos. Usted encontrará $A,B$, mediante el uso de la recursión transfinita, para definir un inyectiva secuencia $\langle a_\alpha\mid \alpha<\tau\rangle$ de los elementos de $X$ tal que para todos los $\beta<\tau$ tenemos $f(\{a_\alpha\mid \alpha<\beta\})=a_\beta$, pero $f(\{a_\alpha\mid \alpha<\tau\})=a_\gamma$ algunos $\gamma<\tau$.

Answer 3

Los números reales son un conjunto perfecto, y perfectos todos los juegos son innumerables. En particular, esto da prueba del uncountability de números reales que no hace referencia a expansiones decimales.