Ayúdame a entender una línea en una prueba "$A^TA$ es positivo, la definitiva"

Question

Estoy mirando una prueba para por qué es positivo $A^TA$ semi definida cuando $A$ $n\times n$ y tiene esta línea. $$ v ^ TAA ^ Tv = A ^ Tv \cdot A ^ Tv ≥ 0. $$ entiendo qué $v^TAA^Tv$ significa y el propósito de demostrar que es no negativo, etcetera... Mi problema es que soy un novato de álgebra lineal y no necesariamente entienden cómo el primer parte $v^TAA^Tv$ es equivalente a $A^Tv \cdot A^Tv$. ¿Sé que $a^Tb = a \cdot b$, pero algo más está pasando, no? ¡Agradeceria cualquier ayuda!

Answer 1

Para cualquier vector columna $v$, $v^tA^tAv=(Av)^t(Av)=(Av)\cdot (Av)\geq 0$, por lo tanto $A^tA$ es positiva y definida. En particular, si $A$ es una matriz nonsingular, entonces $A^tA$ es positiva definida.

Answer 2

La otra cosa que pasa es que #% el %#% y $(AB)^t=B^tA^t$, aplicado a $(A^t)^t=A$