Sobre la positividad de una matriz con entradas traza.

Question

Algunas observaciones básicas me llevan a plantear la siguiente pregunta

Sea $A_1, \cdots, A_m$ sea $n\times n$ matrices complejas. Para números enteros positivos $k\ge 1$ Mostrar $$\left(\begin{array}{cccc}Tr\{(A_1^*A_1)^k\}&Tr\{(A_1^*A_2)^k\}&\cdots &Tr\{(A_1^*A_m)^k\}\\Tr\{(A_2^*A_1)^k\}&Tr\{(A_2^*A_2)^k\}&\cdots &Tr\{(A_2^*A_m)^k\}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\Tr\{(A_m^*A_1)^k\}&Tr\{(A_m^*A_2)^k\}&\cdots &Tr\{(A_m^*A_m)^k\} \end{array}\right)$$ es semidefinida positiva.

Observación

1). Cuando $m=2$ basta con demostrar $|Tr\{(A_1^*A_2)^k\}|^2\le Tr\{(A_1^*A_1)^k\}\cdot Tr\{(A_2^*A_2)^k\}$ que es una consecuencia de una desigualdad de norma invariante unitariamente aparecida en la p.81 de X.Zhan, Matrix inequalities, Springer, 2002.

2). Es fácil demostrar $$\left(\begin{array}{cccc}(Tr\{A_1^*A_1\})^k&(Tr\{A_1^*A_2\})^k&\cdots &(Tr\{A_1^*A_m\})^k\\(Tr\{A_2^*A_1\})^k&(Tr\{A_2^*A_2\})^k&\cdots &(Tr\{A_2^*A_m\})^k\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\(Tr\{A_m^*A_1\})^k&(Tr\{A_m^*A_2\})^k&\cdots &(Tr\{A_m^*A_m\})^k \end{array}\right)$$ es semidefinida positiva, ya que es $k$ Producto Hadamard de una matriz Gram.

Answer 1

Parece que esto no es cierto. He aquí un contraejemplo. Consideremos un $d$ -gon, donde $d\ge 3$ es un número impar. Sea $S,T$ sean las matrices de permutación en los vértices de este $d$ -gon, inducido por reflexiones en dos ejes de simetría adyacentes. Sea $A_1=1, A_2=S, A_3=T$ que son $d$ por $d$ matrices. Tenemos $S^2=T^2=1$ y $ST$ es una rotación de orden $d$ (así $(ST)^2$ no tiene puntos fijos).

Sea $k=2$ . Entonces la matriz de la pregunta parece ser la siguiente: $$ \left(\begin{matrix} d & d & d\\ d & d & 0\\ d & 0 & d\\ \end{matrix}\right) $$ El determinante de esta matriz es $-d^3$ .