Solución de la ecuación funcional $f(x+y)=f(x)+f(y)+y\sqrt{f(x)}$

Question

Si $x,y\in \mathbb{R}$ y $f(x+y)=f(x)+f(y)+y\sqrt{f(x)}$ $f'(0)=0\;,$ % entonces $f(x)$es

%#% Con $\bf{My\; Try::}$ $ #%

Ahora poner $$f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x)+f(h)+h\sqrt{f(x)}-f(x)}{h}$ en $x=y=0$$$f(x+y)=f(x)+f(y)+y\sqrt{f(x)}\;,$ f (0) = 0$

Lo que conseguimos $ We get $

Así $f(0)=0$ $

Así $$f'(x) = \sqrt{f(x)}+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}=\sqrt{f(x)}$ $

Ahora a poner $$\int\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}dx = 1\int dx\Rightarrow 2\sqrt{f(x)}=x+c$ obtenemos $x=\;,$

Lo que conseguimos $c=0$

Podemos solucionarlo alguna manera corta, si es así entonces por favor explicar, gracias

Answer 1

Creo que esto es incorrecto, pero creo que esto puede funcionar. $$f(x+y)=f(x)+f(y)+y\sqrt{f(x)}=f(y+x)=f(y)+f(x)+x \sqrt{f(y)}$ $ Restar $f(x)+f(y)$ de cada lado y encuadre, tenemos que $$y^2f(x)=x^2f(y) \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x^2}=\frac{f(y)}{y^2}$ $ tenemos $\frac{f(x)}{x^2}$ es una función constante. Ahora poner $f(x)=cx^2$ en la ecuación original. Tenemos $c=\frac{1}{4}$. Sin embargo, no estoy seguro.

Answer 2

Me gusta escribir $$\frac{f(x+y)-f(x)}y=\frac{f(y)}y+\sqrt{f(x)}$$ A continuación, tomar el límite de $y\rightarrow0$ para obtener $$f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)+\sqrt{f(x)}$$ (suponiendo que la diferenciabilidad y observando que $f(0)=0$, por lo que podemos aplicar la regla de L'Hospital), de modo que si $f^{\prime}(0)=0$, luego $$\frac{df}{\sqrt f}=dx$$ $$2\sqrt{f(x)}=x+C$$ A partir de la ecuación original se puede ver que $f(0)=0$ $C=0$ y de ello se sigue que $$f(x)=\frac{x^2}4$$ Aviso de que esta técnica permite obtener soluciones implícitas, incluso si $f^{\prime}(0)\ne0$.

EDIT: Pero estas soluciones no son válidas porque si $f^{\prime}(0)\ne0$, entonces a partir de la $f(0)=0$, habría algunos puntos cerca de $x=0$ donde $f(x)<0$ que sería un error porque, a continuación,$\sqrt{f(x)}\notin\mathbb{R}$.