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¿Admite todo conjunto no vacío una estructura de grupo (en ZF)?

Es fácil ver que en ZFC, cualquier conjunto no vacío $S$ admite una estructura de grupo: para los casos de $S$ identificar $S$ con un grupo cíclico, y para infinitos $S$ el conjunto de subconjuntos finitos de $S$ con la operación binaria de diferencia simétrica forma un grupo, y en ZFC existe una biyección entre $S$ y el conjunto de subconjuntos finitos de $S$ por lo que la estructura del grupo se puede llevar a $S$ . Sin embargo, la existencia de esta biyección necesita el axioma de elección.

Así que mi pregunta es

¿Se puede demostrar en ZF que para cualquier conjunto no vacío $S$ existe una operación binaria $\ast$ en $S$ haciendo $(S,\ast)$ en un grupo?

158voto

Peter Humphries Puntos 842

En ZF, lo siguiente es equivalente:

(a) Para todo conjunto no vacío existe una operación binaria que lo convierte en un grupo

(b) Axioma de elección

Dirección no trivial [(a) $\to$ (b)]:

El truco es la construcción de Hartogs que da para cada conjunto $X$ un ordinal $\aleph(X)$ de manera que no haya ninguna inyección de $\aleph(X)$ en $X$ . Supongamos, para simplificar, que $X$ no tiene ordinales. Sea $\circ$ sea una operación de grupo sobre $X \cup \aleph(X)$ . Ahora, para cualquier $x \in X$ debe haber un $\alpha \in \aleph(X)$ tal que $x \circ \alpha \in \aleph(X)$ ya que de lo contrario obtendríamos una inyección de $\aleph(X)$ en $X$ . Utilizando $\circ$ Por lo tanto, se puede inyectar $X$ en $(\aleph(X))^{2}$ enviando $x \in X$ a la $<$ -Mínimo par $(\alpha, \beta)$ en $(\aleph(X))^{2}$ tal que $x \circ \alpha = \beta$ . Aquí, $<$ es la ordenación lexicográfica del producto $(\aleph(X))^{2}$ . Esto induce un buen ordenamiento en $X$ .

3voto

Hans Puntos 263

Usted no puede, en general, poner una estructura de grupo en un conjunto. No es un modelo de ZF con un conjunto que no tiene infinitos contables subconjunto y no puede ser dividida en conjuntos finitos; tal conjunto no tiene estructura de grupo.

Véase e.g a http://groups.google.com/group/sci.math/msg/06eba700dfacb6ed


Croquis de la prueba de que en la norma Cohen modelo el conjunto de $A=\{a_n:n\in\omega\}$ de comunica Cohen reales no se pueden crear particiones en finito de conjuntos:

Deje $\mathbb{P}=Fn(\omega\times\omega,2)$ which is the poset we force with. The model is the symmetric submodel whose permutation group on $\mathbb{P}$ is all permutations of the form $\pi(p)(\pi(m),n)=p(m,n)$ where $\pi$ varies over all permutations of $\omega$, (that is we are extending each $\pi$ to a permutation of $\mathbb{P}$ which I also refer to as $\pi$) y el filtro relevante es generada por todos los finita apoyo de los subgrupos.

Supongamos por contradicción que $p\Vdash " \bigcup_{i\in I}\dot{A_i}=A$ is a partition into finite pieces"; let $E$ (a finite set) be the support of this partition. Take some $a_{i_0}\not\in E$ and extend $p$ to a $q$ such that $q\Vdash ``\{a_{i_0},\ldots a_{i_n}\}$ is the piece of the partition containing $a_{i_0}$". Then pick some $j$ which is not in $E$ nor the domain of $q$ nor equal to any of the $a_{i_0},\ldots a_{i_l}$. If $\pi$ is a permutation fixing $E$ and each of $a_{i_1},\ldots a_{i_n}$ and sending $a_{i_0}$ to $a_j$, it follows that $\pi(q) \Vdash " \{a_j,a_{i_1},\ldots a_{i_n}\}$ is the piece of the partition containing a_j". But also $q$ and $\pi(q)$ are compatible and here we run into trouble, because $q$ forces that $a_{i_0}$ and $a_{i_1}$ are in the same piece of the partition, and $\pi(q)$ forces that this is not the case (and they are talking about the same partition we started with because $\pi$ fixes $E$). Contradicción.

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