¿Cómo puedo encontrar la integral de esta función usando sustitución trigonométricas?

Question

$$\int_0^1x^3\sqrt{1 - x^2}dx$$

Necesito encontrar la integral de esta función mediante sustitución trigonométrica.

Con triángulos, encontré que #% el %#% y $x = \sin\theta$; por lo que tengo

$dx = \cos\theta d\theta$ $, utilizando identidades:

$$\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\sqrt{1 - \sin^2\theta}\cos\theta d\theta$$

$$\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\sqrt{\cos^2\theta}\cos\theta d\theta$$

Después de este punto, no sé dónde ir. Mi maestro publicado soluciones, pero no entiendo muy bien lo.

¿Alguien sabe cómo esto puede ser resuelto utilizando sustitución trigonométricas? La respuesta es $$\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta$.

Muchas gracias,

Zolani13

Answer 1

Factor de una $\sin\theta$ $\sin^3\theta$. Escriba el restante $\sin^2\theta$ $1-\cos^2\theta$. Ahora que $u=\cos\theta$.

$$ \sin^3\theta\, \cos^2\theta\sin\theta \,d\theta \cos^2\theta \,d\theta= (1-{\cos^2\theta}) = (\cos^2\theta-{\cos^4\theta}) \sin\theta \,d\theta\ \ \buildrel{u=\cos\theta}\over = \ \-(u ^ 2 u ^ 4) \,du $$

Answer 2

Desde aquí, convertir $\sin^3(\theta)\cos^2(\theta) = \sin(\theta)(1 - \cos^2(\theta))\cos^2(\theta) = \sin(\theta)\cos^2(\theta) - \sin(\theta)\cos^4(\theta)$. Ahora, resolver ambos integrales mediante una sustitución de u: $u = \cos(\theta), du = -\sin(\theta) d\theta $. ¿Puede terminar de aquí?

Answer 3

Un par de comentarios

1) si $x = \sin \theta$ a continuación, escriba $dx = \cos \theta d\theta$. (Faltó la $d\theta$).

2) ya que están integrando en el intervalo $0$, $\pi/2$, $\sqrt{\cos^2 \theta} = \cos \theta$. Probablemente debería mencionar que en su trabajo.

Ahora estás en la integral

$$\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 \theta \cos ^2 \theta d \theta$$

Normalmente cuando tienes que integrar algo como $\sin^{2n+1}\theta \cos^m \theta$, la $t = \cos \theta$de sustitución % generalmente funciona, porque $dt$ traga uno del $\sin \theta$, y entonces usted puede usar $\sin^{2n} \theta = (1 - \cos^2 \theta)^n$