Se conecta el conjunto ${\rm SL }(n, \mathbb {R})$ ${\rm M }(n, \mathbb {R})$

Question

¿Está conectado el conjunto ${\rm SL }(n, \mathbb {R})$ ${\rm M }(n, \mathbb {R})$?

¿Me puede dar consejos? Tengo sólo el concepto en las siguientes etiquetas.

Answer 1

La respuesta es sí, y es incluso pathwise conectado. Pero se requiere un mínimo de conocimientos en álgebra lineal. Una forma fácil es usar el hecho de que el grupo $SL(n,\mathbb{R})$ es generado por transvections=elementales de matrices. A continuación, cada matriz se puede conectar fácilmente a $I_n$ dentro $SL(n,\mathbb{R})$.

De hecho, vamos a $T=I_n+\lambda E_{i,j}$ ser elementales en la matriz diagonal de $1$'s y un único posiblemente distinto de cero fuera de la diagonal coeficiente de $\lambda$ $(i,j)$ posición para algunos $i\neq j$. Entonces $$T_t:=I_n+t\lambda E_{i,j}$$ define una ruta de acceso que conecta $T$ $I_n$ $\det T_t=1$ por cada $t$.

Relacionados: ver este hilo para muchas pruebas de que el hecho de que el conjunto de la plaza real, las matrices con determinante positivo es pathwise conectado, por lo tanto conectado. Tenga en cuenta que esto implica en el caso de $SL(n,\mathbb{R})$. De hecho, si $S$ ha determinante, y si $S_t$ es un camino que conecta $S$ $I_n$dentro de las matrices de determinante positivo, entonces $$\widetilde{S_t}:=\frac{S_t}{\sqrt[n]{\det S_t}}$$ conecta $S$ $I_n$ dentro $SL(n,\mathbb{R})$.

Answer 2

Aquí es una prueba alternativa de conectividad si no te importa usar algo menos elemental.

Que $A=USV^T$ sea una descomposición singular del valor $\mathbb{R}$. $\det A=1$, Suponemos WLOG que $\det U=\det V=1$ y $U=e^{K_1}$ y $V=e^{K_2}$ % inclinación simétrico matrices $K_1,K_2$. Que $S=\operatorname{diag}(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n)$. Entonces $I$ pathwise está conectado a $A$ a través de la ruta de acceso $$f(t)=e^{tK_1}\operatorname{diag}(\sigma_1^t,\sigma_2^t,\ldots,\sigma_n^t)e^{-tK_2}.