¿Tengo una duda con respecto a este límite (de secuencia): $$\lim_{n\to \infty} n|\sin(n)|$$ Why isn't it infinite? The way I thought this problem is like this-$ | \sin(n) | $ siempre es positivo y n tiende a infinito, así que no debería salir al límite todo hasta el infinito? ¿Cuál es la manera correcta de resolver esto y por qué está mal mi idea?
Respuesta
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Roger Hoover
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No existe el límite de la secuencia $\{n\left|\sin n\right|\}_{n\geq 0}$ $n\to +\infty$. Obviamente $\left|\sin n\right|$ está arbitrariamente cerca de infinitos números naturales, que $1$ $\limsup=+\infty$. Por otro lado, si es una convergente de la fracción continua de $\frac{p_m}{q_m}$ tenemos $\pi$ $ $$ \left|p_m -\pi q_m\right|\leq \frac{1}{q_m} $ y $\sin(x)$ es una función continua de Lipschitz, $\liminf$ es finito, considerando el $n=p_m$.
