Una nota de cómo probar la existencia de ciclos de
Considerar la notación para un (comprimido) de el paso, donde podemos reducir la discusión a la de los números impares solamente. También, los números divisibles por 3, no necesitan ser considerados por cierto, porque no puede ser el resultado de una transformación de un valor impar $a$$b$. Por otra parte, diferentes de la Collatz-problema que puede tener de positivo y/o negativo de los valores en la cuenta.
La definición de "un solo paso "transformación" es:
$$ b= {3a + 1\over (-2)^A } \tag 1$$
donde el exponente $A$ es tal, que el resultado de la $b$ es un entero impar de nuevo.
1) un paso en el ciclo de
Si tenemos un solo paso del ciclo, entonces esto significa que $b=a$ y podemos arreglar:
$$ a= {3a + 1\(-2)^A } \\
(-2)^A = {3a+1 \sobre un} $$ $$
(-2)^A = (3 + {1 \over a}) \tag 2 $$
Obviamente el lado derecho puede asumir sólo dos valores enteros, que son perfectos poderes de $2$ , es decir,$a=1 \implies 3+1/a=4 , A=2$$a=-1 \implies 3-1/a=2 , A=1$.
El primer valor de $a=1$ da un ciclo, ya que los $(-2)^2 = 3+1 $, pero no el segundo, porque uno de $ (-2)^1 \ne 3-1 $
Lo sabemos: no existe exactamente un solo paso en el ciclo de uso de $a=1$.
2) Dos pasos del ciclo de
Considere ahora dos pasos del ciclo. Esto significa
$$ b= {3a + 1\over (-2)^A } \qquad a = {3b + 1\over (-2)^B } \tag 3$$
Para probar, si un ciclo que puede existir, hacemos el producto de ambos lhs y rhs para llegar a la fórmula
$$ a \cdot b= {3a + 1\over (-2)^A } \cdot {3b + 1\over (-2)^B } $$
donde si podemos reorganizar los denominadores y el lhs:
$$ (-2)^{A+B} = (3 + {1\over a} ) \cdot ( 3+ { 1\over b } ) \tag 4$$
Because $a=1$ already gives the one-step-cycle, we can assume, $$ at least $\pm5$ and because $b \na$ it must be at least $b = \pm 7$ .
Vemos, que en el lado derecho podemos tener, como mínimo, $(3-1/5)(3-1/7) = 8 $ y como máximo
$(3+1/5)(3+1/7) = 10 {2 \over 35} $
El único perfecto potencia de 2 en este intervalo es$8$, por lo que debemos tener
$$ (-2)^S \overset?= 8 = (3-1/5)(3-1/7) $$
(Nota: yo uso siempre $S$ para la suma de todos los exponentes, por lo que en este caso se ha $S=A+B$)
La única solución que permite la igualdad en valores absolutos serían $S=3$ , pero, a continuación,$(-2)^3 = -8 \ne 8$, por lo que esta no es la solución, y sabemos, que no 2-paso-ciclo existe
3) la generalización de
Os dejo el evidente la generalización; con este método, uno puede refutar una buena multitud de par-paso-ciclos con poco esfuerzo; algunos de ellos porque perfecto potencias de 2, no están cerca de los productos de $3 + 1/a$, con lo que inmediatamente que requieren $a,b,c,...=1$ (pero que a su vez, significa el paso de ciclo) y para la refutación de los demás, de ellos uno debe conjuntos de la prueba de baja delimitada (absoluta) los valores de $a,b,c,...$ y sabiendo $a,b,c,...$ debe ser bajo el radio de búsqueda no es grande.
4) Hypothese
En todos mis estudios en generalizaciones de la Collatz-problema, sólo he encontrado un) par de ciclos a, b) ciclos cortos, c) en los ciclos de pequeños elementos $a,b,c,... $ y mi puñado de pruebas combinado con su exhaustiva búsqueda me hace mucha confianza, que de hecho no trivial ciclo existe.
Comentario El convergents de la continuación de la fracción de $\log(3)/ \log(2)$ dar los valores de $N$ (indicando el número de pasos y el exponente de la potencia de 3 participantes) y $S$ (lo que indica la suma de todos los exponentes $A,B,C,...$ involucrados y que indica el exponente de la mayor potencia de 2 que participan en donde tendremos $2^S \gt 3^N \gt 2^{S-1}$ o $2^S \lt 3^N \lt 2^{S+1}$ dependiendo de los signos de la $a,b,c,d,...$.
Tener tu búsqueda exhaustiva de asegurar que todos los $a,b,c,...$ debe ser mayor que $10^6$ Mi heurística (usando bastante simple procuedure en Pari/GP) muestran que el método anterior permite refutar todos los ciclos de lengthes [actualizado] $N<2966$
actualización Algunos heurístico de datos.
Tengo una rutina para encontrar el límite superior de $a_1$ supuestos ciclos de longitud $N$. Esto significa que el elemento más pequeño de un ciclo debe ser menor o igual que $a_1$. Suponiendo que el siguiente valor de $a_1'$ como valor más pequeño de un ciclo que da en la ecuación de $(-2)^S \overset?= (3+1/a_1)(3+1/a_2)...(3+1/a_N)$ N entre paréntesis el lado derecho es ya demasiado pequeñas para que coincida con el lado izquierdo. Reformulado significa: si ya sabemos (de búsqueda exhaustiva), que todos los números menores o iguales algunos límite superior $X$ bajar a 1 (y, por tanto, no parte de un trivial ciclo), el ciclo de longitud $N$ y su necesaria $a_1 \le X$ no puede existir. ($a_1'$ es el siguiente número posible). La siguiente p&d de la tabla de usos en realidad $(2)^S$ en lugar de $(-2)^S$, pero la lógica es la misma. Sólo que los ciclos de longitud $N \le 1000$ están documentados, donde $a_1 \gt 20000$ Todos los demás lengthes $N$ requieren de mucho menor tamaño mínimo de los valores de $a_1$
rhs is rhs is
diff(N) N a1 a1' higher than S lower than S S
-----------------------------------------------------------------
253 26735 - 26737 : 401.000000445 400.999999949 401
53 306 99323 - 99325 : 485.000000022 484.999999978 485
200 506 26363 - 26365 : 802.000000167 801.999999174 802
53 559 44255 - 44257 : 886.000000272 885.999999876 886
53 612 98867 - 98869 : 970.000000018 969.999999929 970
147 759 25991 - 25993 : 1203.00000092 1202.99999943 1203
53 812 36163 - 36167 : 1287.00000072 1286.99999988 1287
53 865 54647 - 54649 : 1371.00000023 1370.99999983 1371
53 918 98411 - 98413 : 1455.00000005 1454.99999992 1455
41 959 20593 - 20597 : 1520.00000163 1519.99999877 1520
Aquí la primera rhs en la generalización de la fórmula de $(4)$ (habiendo $N$ paréntesis) se calcula con base en $a_1$ y es mayor o igual que $2^S$ y el próximo rhs se calcula con base en $a_1' \gt a_1$ y es demasiado pequeño para llegar a $2^S$.
Resultado: dado $X=1 000 000$ vemos que todos los $a_1 \lt X$ y por lo tanto ninguno de los ciclos de la muestra lengthes puede existir.
[Apéndice]
Estas son las primeras ciclo-lengthes $N$ que permiten el elemento más pequeño $a_1$ a ser más grande que la de $X=1\,000\,000$ , por lo que la muestra de ciclo-lengthes no se desmiente con la parte superior del obligado por su exhaustiva búsqueda solo.
N a1 a1' S f(a1) f(a1') diff(N)
-----------------------------------------------------------------------------
2966 1161955 - 1161959 : 4701 0.000000002 -0.000000001 2966
3631 >1489099 - >1489103 : 5755 0.000008467 0.000008465 665
4296 >1487105 - >1487107 : 6809 0.000286350 0.000286347 665
4961 >1485109 - >1485113 : 7863 0.000564521 0.000564518 665
5267 1001761 - 1001765 : 8348 0.000000006 -0.000000002 306
5626 >1483115 - >1483117 : 8917 0.000842982 0.000842978 359
5932 1157525 - 1157527 : 9402 0.000000002 -0.000000004 306
... ... ... ... ... ... ...
El término "f(a1)" significa los siguientes:
Deje $x = \log_2()$ del producto de la generalización de la rhs de la ecuación (4) donde los más pequeños/primer elemento es $a_1$.
A continuación, "f(a1)" es la desviación de $x$ a partir de $S$: $x-S$
