¿Cuántos pares de números son por lo que son el inverso uno del otro y tienen la misma parte decimal?

Question

Me preguntaba... $1$, $\phi$ y $\frac{1}{\phi}$, tienen algo común: comparten la misma parte decimal con su inversa. Y aquí viene la pregunta:

¿Estos números son únicos? ¿Cuántos otros miembros están en el conjunto si existen? Si hay más de tres elementos: ¿es finito o infinito? ¿Es un conjunto denso? ¿Es contable? ¿Sus miembros son números irracionales?

Muchas gracias de antemano!!

Answer 1

Por lo que los valores de $0<x<1$ tal que $x+k= \frac{\large 1}{\large x}$ % entero positivo $k$, $x^2+kx-1 =0$ de significado. Esto tiene una solución positiva en el intervalo para cada $k$.

Answer 2

Hay un par para cada $n \in N$\begin{eqnarray*} x_{\pm} = \frac{n \pm \sqrt{n^2+4}}{2} \end{eqnarray *}

Dónde\begin{eqnarray*} 1/(x_{\pm}) = \frac{-n \pm \sqrt{n^2+4}}{2} = x_{\pm}-n \end{eqnarray *}

Eg $n=2$ ... $x_+=2.414 \cdots$ & $x_-=0.414 \cdots$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $x$ $\frac1x$ siempre tienen el mismo signo. También si $\lvert x\rvert > 1,$ $0 < \left\lvert\frac1x\right\rvert < 1$ y viceversa.

De modo que los pares siempre será de dos números positivos como resuelto en las otras respuestas, o dos números negativos que puede obtener de una de esas soluciones con sólo cambiar los signos de los números; y la forma general de dos números positivos $x$ $\frac1x$ que tienen la misma parte decimal es la de los dos números $$ \frac12\left(n + \sqrt{n^2+4}\right) \quad \text{y} \quad \frac12\left(-n + \sqrt{n^2+4}\right) $$ donde $n$ es cualquier número entero no negativo.

Para $n = 0$ ambas formas de salir a$1$; $n=1$ salen a $\phi$ $\frac1\phi.$

Hay exactamente una contables número de estas parejas, ya que desde cada entero no negativo que tenemos en la mayoría de los cuatro pares. (El número exacto de pares para cada valor de $n$ depende de cómo lo cuentan ellos: ¿considera "$\phi,\frac1\phi$" el mismo par como "$\frac1\phi,\phi$" o diferentes?)

Desde $n^2 + 4$ no es un cuadrado perfecto para cualquier valor de $n > 0,$ de ello se desprende que $\sqrt{n^2+4}$ no es un número entero para $n > 0,$ y el resultado es que el $\sqrt{n^2+4}$ es irracional cuando $n>0.$ La única números racionales cuyo inverso multiplicativo tienen el mismo parte fraccionaria son, por tanto, $1$ $-1.$

Answer 4

Si usted quiere encontrar estos números, usted debe buscar en el límite de los valores de la secuencia de números como números de Fibonacci. Por ejemplo, Considere la siguiente secuencia

\begin{equation} a_n= \left\{ \begin{array}{cc} a_{n-3} & n=1(mod \hspace{1mm}2)~,\\ \\ a_{n-3}+ a_{n-2} & n=0(mod \hspace{1mm}2)~. \end{array} \right. \end{equation} con los siguientes valores iniciales

$$a_0=0~, \hspace{5mm} a_1=1~, \hspace{5mm} a_2=0~.$$

Ahora, tenga en cuenta los valores límite de la $a_n$ secuencia se define de la siguiente manera

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}=\alpha_1~,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{2n+1}}{a_{2n+2}}=\alpha_2~. $$

con el cálculo, se puede ver que

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ccc} \alpha_1 &=& 1.4655712318767680267\, , \\ &&\\ \alpha_2 &=& 0.4655712318767680267\, . \end{array} \right. \end{equation}