Subespacio de %#% en $C_0(\mathbb R)$ #%

Question

Que $W$ sea un subespacio cerrado de $C_0(\mathbb R)$ que continuamente está contenido como también un subespacio cerrado de $L^2(\mathbb R)$. Es decir, hay constantes $c_1$, $c_2$ tal que $c_1 \|f\|_\infty \leq \|f\|_2 \leq c_2 \|f\|_\infty$ % todos $f\in W$. ¿$W$ Debe finito dimensional? ¿Qué pasa si sustituimos $L^2$ $L^p$ $p\geq 1$?

Answer 1

Consideramos $X:=[-\infty,+\infty]$ con el Borel $\sigma$-álgebra para la topología dada por la métrica $d(x,y):=|\arctan x-\arctan y|$ y la medida dada por $\mu([a,b])=\arctan b-\arctan a$. Para una función en $W$ ponemos $\widetilde f(x)=f(x)$$x\in\mathbb R$$\widetilde f(-\infty)=\widetilde f(+\infty)=0$. Podemos comprobar por simple función que $||f||_{L^2(X)}\leq ||f||_{L^2(\mathbb R)}$, y desde Espacio de Banach están involucrados podemos encontrar constantes $K_1$ $K_2$ tal que $K_1||f||_{\infty}\leq ||f||_{L^2(X)}\leq K_2||f||_{\infty}$ todos los $f\in W$.

Ahora se demuestra un teorema de Grothendieck:

Teorema. Deje $(X,\mathcal A,\mu)$ de un número finito de medir el espacio, $1<p<\infty$ $W\subset L^{\infty}$ un subespacio cerrado de $L^p$. A continuación, $W$ es finito dimensionales.

Lema. la incrustación $L^2\hookrightarrow L^p$ es continua.

En efecto, es claro para $p<2$ desde $X$ tiene un número finito de medir, y para $p\geq 2$ escribimos $\int_X |f|^pd\mu\leq ||f||_{\infty}^{p-2}||f||_{L^2}^2\leq \frac 1{K_2}||f||_{L^2}^p$.

Deje $(f_1,\ldots,f_n)$ un ortonormales de la familia de elementos de $W$. Deje $B$ la unidad de la bola para la norma Euclidiana de $\mathbb R^n$ $c=(c_1,\ldots,c_n)$ ponemos $f_c(x):=\sum_{k=1}^nc_kf_k(x)\in W$. Podemos encontrar una secuencia $\{c^{(k)}\}$ denso en $B$, y para cada uno de los $k$ $X_k\subset X$ tales que $||f_{c^{(k)}}||_{\infty}= \sup_{x\in X_k}|f_{c^{(n)}}(x)|$ and $\mu(X_k)=\mu(X)$. Put $X'=\bigcap_k X_k$, then $\mu(X')=\mu(X)$ and for all $x\in X'$, $|f_{c^{(k)}}(x)|\leq ||f_{c^{(k)}}||_{\infty}$. Since $||f_{c^{(k)}}||_{\infty} \leq \frac 1{K_1}||f_{c^{(k)}}||_{L^2}\leq \frac 1{K_1}$ we have for all $x\in X'$ and all $c\B$: $|f_{c^{(k)}}(x)|\leq \frac 1{K_1}$ and since for a fixed $x$ the map $c\mapsto |f_{c}(x)|$ es continua tenemos para todos $x\in X'$: $|f_c(x)|\leq \frac 1{K_1}$. Ahora tome $$c(x):=\begin{cases} \frac 1{\sqrt{\sum_{k=1}^nf_k(x)^2}}(f_1(x),\ldots,f_n(x))&\mbox{ if }f_k(x)\neq 0\mbox{ for some }k\\\ 0&\mbox{ otherwise}. \end{casos}$$ Luego tenemos a $f_{c(x)}(x)^2=\sum_{j=1}^nf_j(x)^2\leq \frac 1{K_1^2}$ y la integración de $n\leq \frac{\mu(X)}{K_1}$.