El grupo generado por las funciones $x\mapsto 1/x$ $x\mapsto 1-x$ con la composición de funciones como el grupo de operación es un no-grupo abelian con sólo seis elementos (enumerados a continuación).
No esta en particular la realización de $S_3$ tiene un nombre convencional? Hay una literatura acerca de ello? Hace interfaz de forma interesante con la geometría, probabilidad, combinatoria, álgebra, teoría de números,${}\,\ldots\,{}$?
\begin{array}{rcl|c|cccc} & & & \text{order} & \text{fixed points} \\ \hline x & \mapsto & x & 1 & \mathbb C\cup\{\infty\} \\[10pt] x & \mapsto & 1/x & 2 & \pm 1 \\[6pt] x & \mapsto & 1-x & 2 & 1/2,\ \infty \\[6pt] x & \mapsto & x/(x-1) & 2 & 2,\ \infty \\[10pt] x & \mapsto & (x-1)/x & 3 & (1\pm i\sqrt 3)/2 \\[6pt] x & \mapsto & 1/(1-x) & 3 & (1\pm i\sqrt 3)/2 \end{array}
PS: Ya que este es isomorfo al grupo de las permutaciones de tres elementos, uno podría preguntarse a cuál de los tres elementos que permutes, y nos parece que deben tomar los $0$, $1$, y $\infty$.
El primer elemento de orden $2$ transpone $0$$\infty$, dejando $1$ fijo. La segunda transpone $0$$1$, dejando $\infty$ fijo. El tercer transpone $1$$\infty$, dejando $0$ fijo.
El primer elemento de orden $3$ es de $0$ a $\infty$, $\infty$ a $1$, e $1$$0$. La segunda se $0$ a $1$, $1$ a $\infty$, e $\infty$$0$.
PPS: Evaluar la derivada de cada una de estas en uno de los puntos fijos. Como era de esperar, se obtiene una primitiva $n$th raíz de $1$ donde $n\in\{1,2,3\}$ es el orden. El punto fijo es el eje de rotación de $0^\circ$, $180^\circ$, o $120^\circ$.
