¿Cuál es la probabilidad de que el as de espadas es en la parte inferior de una baraja estándar de 52 cartas, ya que no es el as de corazones en la parte superior?
¿Pregunté a mi hermano mayor, y dijo que debería ser $\frac{50}{51} \cdot \frac{1}{51}$ ya que es $$\mathbb{P}(A\heartsuit \text{ not at top}) \times \mathbb{P}(A\spadesuit \text{ at bottom}),$$ but I'm not sure if I agree. Shouldn't the $ \frac{50}{51}$ be $\frac{50}{52}$?
¡Gracias!
La probabilidad condicional es un cociente,
P(COMO en la parte inferior y AH no en la parte superior)/P(AH no en la parte superior).
(Aquí y AH son el as de espadas y el as de corazones, respectivamente).
El numerador es igual aquí a
P(COMO en la parte inferior) - P(COMO en la parte inferior y AH en la parte superior)
y usted puede volver a escribir el segundo término como
P(COMO en la parte inferior) - P(COMO en la parte inferior) P(AH | superior COMO en la parte inferior)
y ahora a poner en números para obtener
$1/52 - (1/52)(1/51) = (50/51)(1/52)$
El denominador de la original cociente es P(AH no, en la parte superior) o $51/52$, así que la respuesta es
$$ {(50/51)(1/52) \over (51/52)} = {50 \over 51^2} $$
lo cual está de acuerdo con su hermano respuesta.
También puede obtener el resultado correcto simplemente por contar. Hay $52!$ órdenes posibles para la cubierta; $1/52$ de estos tienen el as de corazones en la parte superior, por lo que hay $$\frac{51}{52}\cdot 52!=51\cdot 51!$$ órdenes que no tienen el as de corazones en la parte superior.
Ahora vamos a contar cuántos de estos tienen el as de espadas en la parte inferior. Las tarjetas de los ases de corazones y picas puede aparecer en cualquiera de $50!$ diferentes órdenes. El as de espadas deben seguir todos ellos, y el as de corazones puede insertarse inmediatamente después de cualquiera de las $50$ tarjetas de la resultante de $51$cartas de la baraja. Por lo tanto, no se $50\cdot 50!$ pedidos que tiene el as de espadas en la parte inferior y no tiene el as de corazones en la parte superior.
La probabilidad deseada es, por tanto, $$\frac{50\cdot 50!}{51\cdot 51!}=\frac{50\cdot 50!}{51\cdot 51\cdot 50!}=\frac{50}{51^2}\;,$ $ a tu hermano de la respuesta.
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