Podemos hacer el siguiente lema:
Lema. Supongamos $f(z)$ es holomorphic cerca de $z = z_0$. Fix $\theta_0 \in (0, 2\pi)$. Si $\gamma_{\epsilon}$ denota un sentido antihorario orientada al arco de ángulo de $\theta_0$ sobre el círculo de radio $\epsilon$ centrada en $z_0$, luego
$$ \lim_{\epsilon\to0} \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}\;d\zeta=i\theta_0 f(z_0).$$
Prueba. Por la sustitución de $\zeta = z_0 + \epsilon e^{i\theta}$, tenemos
$$\begin{align*}
\left| \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}\;d\zeta - i\theta_0 f(z_0)\right|
&= \left| i \int_{\theta_1}^{\theta_1+\theta_0} f(z_0 + \epsilon e^{i\theta})\;d\theta - i\theta_0 f(z_0)\right| \\
& \leq \int_{\theta_1}^{\theta_1+\theta_0} \left| f(z_0 + \epsilon e^{i\theta}) - f(z_0) \right| \;d\theta,
\end{align*}$$
en el que claramente se va a cero cuando se $\epsilon \to 0$.
Como corolario, si $f(z)$ tiene una simple poste de $z = z_0$, a continuación, con la misma notación como en el Lema, tenemos
$$ \lim_{\epsilon\to0} \int_{\gamma_{\epsilon}} f(\zeta) \;d\zeta=i\theta_0 \mathrm{Res} \{ f(z), z_0 \}.$$
Ahora vamos a $C$ ser la parte superior de contorno semicircular de radio $R \gg 1$ con una pequeña semicircular guión de radio $\epsilon \ll 1$, en el origen. Vamos a escribir $C$
$$ C = \Gamma_{R} + L_{\epsilon,R} - \gamma_{\epsilon},$$
donde $\Gamma_R$ $\gamma_{\epsilon}$ denotar en contra de las manecillas orientada a los arcos correspondientes para el círculo exterior y el interior del círculo de $C$, respectivamente, y $L_{\epsilon,R}$ denotar el resto de la unión de dos líneas en $C \cap \Bbb{R}$. Ahora para
$$ f(z) = \frac{e^{2\pi i z}}{z(z^2 + 3)}, $$
la integral en cuestión, que se denota como $I$, es igual a
$$I = \frac{1}{2i} \lim_{{\epsilon \to 0 \atop R \to \infty}} \int_{L_{\epsilon, R}} f(z) \; dz.$$
Ahora, por Cauchy integración de la fórmula,
$$ \oint_{C} f(z) \; dz = 2\pi i \mathrm{Res} \{ f(z), i\sqrt{3} \}. $$
Esto significa que
$$ \int_{L_{\epsilon, R}} f(z) \; dz = 2\pi i \mathrm{Res} \{ f(z), i\sqrt{3} \} + \int_{\gamma_{\epsilon}} f(z) \; dz - \int_{\Gamma_R} f(z) \; dz. $$
Tomando límite de $\epsilon \to 0$$R \to \infty$, la integral de la $\int_{\Gamma_R} f(z) \; dz$ se desvanece por Jordania lema. Así por nuestro lema,
$$ \lim_{{\epsilon \to 0 \atop R \to \infty}} \int_{L_{\epsilon, R}} f(z) \; dz = 2\pi i \mathrm{Res} \{ f(z), i\sqrt{3} \} + \pi i \mathrm{Res} \{ f(z), 0 \}.$$
Pero ya
$$ \mathrm{Res} \{ f(z), i\sqrt{3} \} = \left. (z-i\sqrt{3})f(z) \right|_{z=i\sqrt{3}} = -\frac{1}{6}e^{-2\pi \sqrt{3}} $$
y
$$ \mathrm{Res} \{ f(z), 0 \} = \left. z f(z) \right|_{z=0} = \frac{1}{3}, $$
tenemos
$$ I = \frac{1}{2i} \left[ 2\pi i \left(-\frac{1}{6}e^{-2\pi \sqrt{3}}\right) + \pi i \left(\frac{1}{3} \right) \right] = \frac{\pi}{6}\left(1 - e^{-2\pi \sqrt{3}} \right). $$
