Si $x^2 + y^2 - 3 = 0$ no tiene ninguna soluciones racionales, $x^2 + y^2 - 3^k = 0$ no tiene ninguna soluciones racionales.

Question

22. Explicar por qué la $x^2 + y^2 – 3 = 0$ no tener soluciones racionales (Ejercicio 20) implica $x^2 + y^2 – 3^k = 0$ no tiene soluciones racionales para $k$ un número impar, entero positivo. (Libro de la Prueba por Hammack)

Por favor crítica de mi prueba:

Por el bien de la contradicción, supongamos que $x^2 + y^2 – 3 = 0$ no tiene soluciones racionales, sino $x^2 + y^2 – 3^k = 0$ tiene soluciones racionales para $k = 2j + 1$, $j\in\mathbb{Z}$. De ello se desprende que existen enteros $a$, $b$, $c$ y $d$, $c ≠ 0$ y $d ≠ 0$, de tal manera que $x = a/c$ $y = b/d$ son soluciones de $x^2 + y^2 – 3^k = 0$.

Ahora, tenemos que $a^2/c^2 + b^2/d^2 = 3^{2k} \cdot 3^1$, se deduce que el $a^2/(3^{2k}c^2) + b^2/(3^{2k}d^2) = 3$. Esto a su vez conduce a que hay algunos enteros $e = 3kc$ $f =3kd$ tal que $x = a/e$ $y = b/f$ son soluciones racionales de $x^2 + y^2 = 3$, una contradicción.

Answer 1

Esencialmente correcta, pero más complicada de lo necesario. Hacer cierta confusión acerca de $k$ y $j$, aunque.

Supongamos que $x$ y $y$ son soluciones racionales de $x^2+y^2=3^k$, $k$ un entero impar. Entonces $k=2j+1$ y lo $$ \left(\frac{x}{3^j}\right) ^ {\!2} + \left (\frac {y} {3 ^ j} \right) ^ {\!2} = 3 $$ en $x/3^j$ y $y/3^j$ son racionales.