Podemos decir (con seguridad) que "la función es creciente" para significar que la primera derivada es positiva?

Question

¿Podemos decir (con seguridad) que "la función es creciente" para significar que la primera derivada es positiva?

Siempre que $f'$ (la primera derivada) es positiva la función es creciente, pero ¿implica eso que si una función es creciente la primera derivada debe ser positiva?

Por favor, explíquelo con un ejemplo.

Answer 1

No. Considere la función $f(x)=x^3$ . Está aumentando en $\mathbb R$ pero $f'(0)=0$ .

Answer 2

No. Consideremos un subconjunto denso contable $Q$ de $\mathbb R$ y una familia $(a_q)_{q\in Q}$ de números reales positivos tal que $\sum\limits_{q\in Q}a_q(1+|q|)$ converge. Para cada $x$ , dejemos que $(x)^+=\max\{x,0\}$ denotan la parte positiva de $x$ .

Entonces, la función $f$ definido por $$ f(x)=\sum\limits_{q\in Q}a_q(x-q)^+ $$ está bien definida para todo número real $x$ . Las derivadas izquierda y derecha de $f$ existen en todas partes, con $$ f'_\ell(x)=\sum\limits_{q<x}a_q\qquad\text{and}\qquad f'_r(x)=\sum\limits_{q\leqslant x}a_q. $$ Así, $f$ es estrictamente creciente y estrictamente convexo, diferenciable en todo punto que no esté en $Q$ y no diferenciable en cada punto de $Q$ .

Para demostrar la existencia de $f'_\ell$ y $f'_r$ en cada punto, se puede volver a las definiciones de las derivadas izquierda y derecha como límites, si es que existen, de $\pm(f(x\pm h)-f(x))/h$ cuando $h\to0^+$ .

O se puede utilizar directamente el hecho de que cada función $g_q$ definido por $g_q(x)=(x-q)^+$ tiene derivadas a la izquierda y a la derecha $(g_q)'_\ell(x)=[x>q]$ y $(g_q)'_r(x)=[x\geqslant q]$ .

Answer 3

Alguien mencionó $f(x)=x^3$ para el que la derivada en un punto es $0$ pero la función es creciente en todas partes.

También puede ocurrir que la derivada en un punto sea indefinida y la función sea creciente en todas partes. Por ejemplo, dejemos que $$ f(x) = \begin{cases} x & \text{if }x<0, \\ 2x & \text{if }x\ge 0. \end{cases} $$ La derivada es indefinida en $x=0$ . La función es creciente en todas partes.