¿Cuál es el menor número de $45^\circ-60^\circ-75^\circ$ triángulos en los que se puede dividir un cuadrado?

Question

¿Cuál es el menor número de $45^\circ-60^\circ-75^\circ$ triángulos en los que se puede dividir un cuadrado?

La imagen de abajo es un ejemplo defectuoso, de http://www.mathpuzzle.com/flawed456075.gif

Laczkovich dio una solución con muchos cientos de triángulos, pero esto era sólo una demostración de existencia, y no una mínimo solución. ( Laczkovich, M. "Tilings of Polygons with Similar Triangles". Combinatorica 10, 281-306, 1990. )

He ofrecido un premio para este problema: En dólares americanos, (\$200-número de triángulos).

NUEVO: Se gana el premio, con una solución de 50 triángulos de Lew Baxter.

Answer 1

He encontrado una pequeña mejora a la solución de Lew Baxter. Sólo se necesitan 46 triángulos para embaldosar un cuadrado:

                          This is my design 

En realidad, intenté encontrar una solución óptima con un número mínimo de baldosas creando una base de datos con unos 26.000 romboides y trapecios únicos compuestos por 2-15 triángulos. Busqué en varias configuraciones prometedoras (en las que la relación anchura/altura variable de un elemento define un segundo y sólo tienes que mirar, si está en la base de datos, también) pero no apareció nada. Así que esta solución de 46 baldosas fue en cierto sentido sólo un subproducto. Como probablemente existen algunas combinaciones más complejas de triángulos que no pude incluir, una solución aún más pequeña podría ser posible.

con b = $\sqrt3$ los puntos tienen las coordenadas:
{{4686, 0}, {4686, 6 (582 - 35 b)}, {4686, 4089 - 105 b}, {4686, 4686}, {4194 + 94 b, 3000 - 116 b}, {141 (28 + b), 3351 + 36 b}, {4194 + 94 b, -11 (-327 + b)}, {141 (28 + b), 141 (28 + b)}, {3456 + 235 b, 2262 + 25 b}, {3456 + 235 b, 2859 + 130 b}, {3456 + 235 b, 3456 + 235 b}, {3426 - 45 b, 45 (28 + b)}, {3426 - 45 b, 3 (582 - 35 b)}, {3426 - 45 b, 3 (744 - 85 b)}, {3258 - 51 b, 51 (28 + b)}, {2472 + 423 b, 213 (6 + b)}, {-213 (-16 + b), 213 (6 + b)}, {2754 - 69 b, 2754 - 69 b}, {-639 (-5 + b), 0}, {213 (6 + b), 213 (6 + b)}, {0, 0}, {4686, 15 (87 + 31 b)}, {3930 - 27 b, 2736 - 237 b}, {3930 - 27 b, 213 (6 + b)}, {0, 4686}, {6 (582 - 35 b), 4686}, {4089 - 105 b, 4686}, {3000 - 116 b, 4194 + 94 b}, {3351 + 36 b, 141 (28 + b)}, {-11 (-327 + b), 4194 + 94 b}, {2262 + 25 b, 3456 + 235 b}, {2859 + 130 b, 3456 + 235 b}, {45 (28 + b), 3426 - 45 b}, {3 (582 - 35 b), 3426 - 45 b}, {3 (744 - 85 b), 3426 - 45 b}, {51 (28 + b), 3258 - 51 b}, {213 (6 + b), 2472 + 423 b}, {213 (6 + b), -213 (-16 + b)}, {0, -639 (-5 + b)}, {15 (87 + 31 b), 4686}, {2736 - 237 b, 3930 - 27 b}, {213 (6 + b), 3930 - 27 b}}

que construyen los 46 triángulos con números de puntos:
{{6, 5, 2}, {3, 2, 6}, {8, 7, 3}, {4, 3, 8}, {9, 10, 5}, {5, 6, 10}, {10, 11, 7}, {7, 8, 11}, {12, 15, 13}, {13, 15, 16}, {14, 13, 16}, {17, 15, 16}, {1, 19, 17}, {19, 17, 20}, {21, 20, 19}, {11, 18, 9}, {18, 9, 16}, {20, 16, 18}, {1, 22, 12}, {2, 23, 22}, {22, 24, 23}, {23, 14, 24}, {24, 12, 14}, {4, 27, 8}, {8, 30, 27}, {30, 8, 11}, {32, 11, 30}, {11, 18, 31} , {27, 26, 29} , {28, 29, 32}, {29, 28, 26}, {31, 32, 28}, {26, 41, 40}, {40, 42, 41}, {18, 31, 37}, {20, 37, 18}, {41, 35, 42}, {35, 34, 37}, {38, 36, 37}, {34, 36, 37}, {33, 36, 34}, {42, 33, 35}, {25, 40, 33}, {25, 39, 38}, {39, 38, 20}, {21, 20, 39}}

Answer 2

He mejorado la solución de Laczkovich utilizando una orientación diferente de los 4 pequeños triángulos centrales, eligiendo mejores parámetros (x, y) y utilizando menos triángulos para un total de 64 triángulos. La solución original de Laczkovich utiliza unos 7 billones de triángulos.

Aquí hay uno con 50 triángulos:

Answer 3

Lo siguiente fue publicado por Ed Pegg como una sugerencia de edición a la respuesta de Lew Baxter, pero fue rechazada por ser un cambio demasiado sustancial. Me pareció una información útil, así que la reproduzco a continuación. Si ya no quieres que se publique aquí, Ed, deja un comentario y lo borraré.

---

Los puntos exactos de los triángulos son los siguientes, con $b=\sqrt3$ :

$$\{\{0,0\}, \{261+93b,0\}, \{522+186b,0\}, \{2709-489b,0\}, \{3492-210b,0\}, \{3890-140b,0\}, \{4288-70b,0\}, \{4686,0\}, \{252+9b,252+9b\}, \{513+102b,252+9b\}, \{774+195b,252+9b\}, \{3000-116b,492-94b\}, \{3398-46b,492-94b\}, \{3597-11b,492-94b\}, \{3796+24b,492-94b\}, \{4194+94b,492-94b\}, \{2262+25b,1230-235b\}, \{2859+130b,1230-235b\}, \{3456+235b,1230-235b\}, \{756+27b,756+27b\}, \{2214-423b,756+27b\}, \{1278+213b,756+27b\}, \{2736-237b,756+27b\}, \{1260+45b,1260+45b\}, \{1746-105b,1260+45b\}, \{2232-255b,1260+45b\}, \{1428+51b,1428+51b\}, \{1278+213b,2214-423b\}, \{1278+213b,1278+213b\}, \{1980+517b,2706-517b\}, \{0,1491+639b\}, \{1278+213b,3408-213b\}, \{0,4686\}\}$$

Los triángulos utilizan puntos $$\{\{1,2,9\},\{2,9,10\},\{2,3,10\},\{3,10,11\},\{3,4,22\},\{4,22,23\},\{4,23,5\},\{5,12,13\},\{5,6,13\},\{6,13,15\},\{6,7,15\},\{7,15,16\},\{7,8,16\},\{9,11,20\},\{11,20,22\},\{12,17,18\},\{12,14,18\},\{14,18,19\},\{14,16,19\},\{20,21,24\},\{21,24,26\},\{21,26,23\},\{24,25,27\},\{25,27,28\},\{25,26,28\},\{27,28,29\},\{1,29,31\},\{29,31,32\},\{31,32,33\},\{17,19,30\},\{17,30,28\},\{28,30,32\}\}$$

Llevando a la solución:

Answer 4

No tengo respuesta a la pregunta, pero he aquí una imagen resultante de algunos intentos iniciales de comprender las limitaciones que existen en cualquier solución.

$\qquad$

Esta imagen se generó considerando lo que parecía ser la configuración más simple posible que podría producir un mosaico de un rectángulo. A partir de los dos "pentágonos divididos" del centro, el resto de la configuración se produce por triangulación. En esta imagen, todos los triángulos adicionales están "forzados", y la configuración no puede extenderse más sin violar las restricciones de la triangulación. Si tuviera tiempo, pasaría a investigar el uso de "hexágonos divididos".

El criterio de forzamiento es que la triangulación requiere que cada vértice esté rodeado (a) por seis $60^\circ$ ángulos, estando tres triángulos orientados en un sentido y tres en el otro, o bien (b) por dos $45^\circ$ ángulos, dos $60^\circ$ ángulos y dos $75^\circ$ ángulos, siendo los triángulos de cada par de orientaciones opuestas.

Answer 5

Encontré una solución casi perfecta con 28 triángulos para el cuadrado. Como el error es muy pequeño, esto podría ser utilizado para un rompecabezas. Aquí hay 3 versiones con diferentes ubicaciones de los triángulos defectuosos: