Concurso matemáticas problema prueba de álgebra

Question

Que $r, s$ ser enteros y dejar que $$a = (2011)^2 + (2011)r + s$ y $$b = (2012)^2 + (2012)r + s$ $ muestran que existe un entero $c$ $c^2 + rc + s = ab$.

¿Alguien puede ayudarme con esto?

Answer 1

El $c^2+rc+s-ab=0$ de la ecuación cuadrática tiene dos soluciones, a saber $$ c = (2011r + s + 2011\cdot 2012), $$ o $$ c =-(2012r + s + 2011\cdot 2012) $$ y de hecho, con esta opción de $c$ funciona.

Answer 2

$$a=t^2+rt+s$ $ $$b=(t+1)^2+r(t+1)+s=t^2+2t+1+rt+r+s$ $ $$ab = c^2+cr+s=(t^2+rt+s)(t^2+2t+1+rt+r+s) = a(a+2t+1+r)$ $ $$c = 1/2(\sqrt{r^2-4s+4ab}-r)$ $ c es un número entero iff $r^2-4s+4ab$ es un cuadrado perfecto y $\sqrt{r^2-4s+4ab}-r$ % incluso $$r^2-4s+4ab = r^2+4a^2+8at+4a+4ar-4s$$ substiting en un % de rendimientos de $$r^2-4s+4ab = (2rt+r+2s+2t^2+2t)^2$$

Tenga en cuenta que el $\sqrt{r^2-4s+4ab}-r = 2(rt+s+t^2+t)$

Answer 3

Restando la primera ecuación de la segunda, tenemos
$r = b-a-2012^2+2011^2 = b-a - (2012+2011) = (b-2012) + (-a-2011)$

Multiplicando la primera ecuación por $2012$, la segunda por $2011$ y restando, tenemos
$s = 2012a - 2011b - 2012\cdot 2011^2 + 2011\cdot 2012^2 = 2012a - 2011b + 2011\cdot 2012$

Así $s - ab = -ab + 2012a - 2011b + 2011\cdot 2012 = (b-2012)\cdot(-a-2011)$

Así tenemos opciones claras para la suma y el producto de las raíces de $c^2 + rx + s = ab$.

Answer 4

Elegir r = 2 y s = 1

$2011^2 + 2.2011 + 1 = a$ Y $2012^2 + 2.2012 + 1 = b$

$a = (2011 + 1)^2$ $b = (2012 + 1)^2$

$ab = (2012.2013)^2$ Deja 2012 = u

$ab = (u(u+1))^2$ $ab = u^4 + 2u^3 + u^2$

Que $c = au^2+bu+l$

$ab = (au^2+bu+l)^2 + (au^2 + bu +l)*2 + 1$

$a^2u^4 + b^2u^2+l^2+2(au^2bu+2bul+alu^2)+2au^2+2bu+2c+1$

$a^2u^4+2abu^3+u^2(b^2+2al+2a)+(2bl+2b)u+l^2+2l+1$

Expandiendo la expresión

$a^2 = 1 > a = 1$

$2ab = 2 > b = 1$

$b^2 + 2al + 2a = 1 > l = -1$

Así $c = (u^2 + u -1)$ que es un número entero como u es un número entero

Va a demostrar que $ab = c^2 + c*2 + 1$ es válido para una entero c.

Gracias

Satish