¿En un modelo, es la subcategoría completa de objetos de fibrant una subcategoría reflexiva?

Question

Pido disculpas de antemano si mi pregunta es completamente estúpida, pero no puedo resistir pidiendo. So...

¿Es cierto que en una categoría de modelo (- por ejemplo $\mbox{Set}_\Delta$ con la estructura del modelo Joyal -) la subcategoría completa de objetos de fibrant es una subcategoría reflexiva? ¿Más concretamente, es el functor de recambio fibrant un adjoint izquierdo a functor de la inclusión?

Gracias.

Answer 1

En el caso de que todos los isomorphisms en el modelo de la categoría son fibration, cofibration, y la debilidad de equivalencias, (trivial cofibrations, fibrations) y (fibrations, trivial cofibrations) forma de la factorización de sistemas, en el sentido de Borceux:

La factorización del sistema en una categoría $\mathbf B$ se define como un par $(E, F)$ de las clases de flechas en $\mathbf B$ tal que

1. cada isomorfismo pertenece tanto a la E y la M
2. ambos E y M son cerrados bajo la composición
3. $\forall e \in E \forall m \in M. e \perp m$ (es decir, e tiene el PAP wrt m)
4. cada flecha f en B puede ser factorizado como f = me e en e y m en M

A continuación, el siguiente teorema en Borceux Manual de la Categórica Álgebra, volumen 1, página 211, da una respuesta afirmativa:

Supongamos $\mathbf B$ es una categoría con un terminal de objeto 1 y una factorización del sistema (E, F). Para cada objeto $B \in \mathbf B$, el factor de la única flecha $B \xrightarrow ! 1$ a $B \xrightarrow {e_B} r(B) \xrightarrow {f_B} 1$. A continuación, $r$ es un reflejo de $\mathbf B$ en el total subcategoría se extendió por todos los $r(B)$, y cada una de las $e_B$ es la unidad de la reflexión.